勾股定理

1.1 引言

1.1.1 探索毕达哥拉斯定理：历史与意义

在这第一讲中，我们考察数学中最重要的定理之一——毕达哥拉斯定理。该定理的历史渊源令人着迷：诸如 $5^2+{12}^2={13}^2$ 这样的恒等式最早出现于苏美尔数学中。像 $(5,12,13)$ 这样的数三元组被称为毕达哥拉斯三元组。而定理本身远不止于此。该定理不仅列举了若干例子作为佐证，还陈述并证明了：对所有三角形而言，关系式 $a^2+b^2=c^2$ 成立当且仅当该三角形是直角三角形。毫不夸张地说，毕达哥拉斯定理是最优美、最重要的定理之一。它在数学的许多其他分支中都有亮相。例如，在调和分析中，它告诉我们周期函数的长度平方等于其傅里叶系数的平方和。在概率论中，它告诉我们如果两个随机变量 $X,Y$ 不相关，那么 $X+Y$ 的方差等于 $X$ 和 $Y$ 的方差之和。

1.1.2 重新定义向量

我们在此也利用该定理引入向量和线性空间。矩阵语言不仅是一种符号表示，它还允许采用一种稍微更精细的向量微积分方法，其中可以区分别向量和行向量。这与标准向量分析课程不同，当工作更接近线性代数时，这是可能的。传统上，许多资料将向量定义为具有“大小”和“方向”的量。这很有问题，因为一部“电影”也符合这一概念：它有长度（时长），也有导演（director）。但我们不必用双关语来调侃：零向量 $0$ 就是一种不符合向量定义的量，因为零向量没有方向。由于这类问题，人们通常将向量定义为由空间中的两点 $A,B$ 定义的量，记作 $\overrightarrow{AB}$，并将该向量视为从 $A$ 到 $B$ 的平移，或一个始于 $A$ 终于 $B$ 的“箭头”。现在，又面临一个困难：两个平行且等长的向量被视为相同。实际上，人们需要使用等价类从仿射空间得到线性空间。现代的观点是，可以在每一点附加一个向量的线性空间，并将 $\overrightarrow{AB}$ 视为附加在点 $A$ 的一个向量。例如，我们将见到梯度场的概念，它在每一点附加一个行向量。力场就是例子。

1.1.3 数据分析中的矩阵基础

无论如何，在数据分析被公认为重要工具的时代，尽早引入矩阵空间也有其优势。关系型数据库建立在矩阵的概念之上。最熟悉的是电子表格，即组织数据的二维阵列。最近，这类概念也被更复杂的数据结构（如图数据库）所取代。然而，图也可以用矩阵来描述。给定网络的两个节点 $x,y$，在矩阵元素 $A_{xy}$ 中写入它们之间的关联方式。最简单的情形是，若节点相连则填 $1$，不相连则填 $0$。无论如何，数据始终是由更基本的量构成的阵列。计算机的存储结构就是按数组组织的。正如艾伦·图灵所证，我们能形式化的所有计算都可以在一个只有 $0$ 和 $1$ 的一维磁带上完成。现代计算机存储设备本质上就是这种图灵带，但以更复杂的方式组织，利用分区或扇区，类似于矩阵按行和列组织的方式。

1.2 讲座

1.2.1 矩阵基础

一个由实数构成的有限矩形阵列 $A$ 称为矩阵。如果 $A$ 有 $n$ 行和 $m$ 列，则称为一个 $n\times m$ 矩阵。我们用 $A_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。一个 $n\times 1$ 矩阵是列向量，一个 $1\times n$ 矩阵是行向量。一个 $1\times 1$ 矩阵称为标量。给定一个 $n\times p$ 矩阵 $A$ 和一个 $p\times m$ 矩阵 $B$，$n\times m$ 矩阵 $AB$ 定义为 $$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^p{A}_{ik}{B}_{kj}.$$ 它称为矩阵乘积。一个 $n\times m$ 矩阵 $A$ 的转置是 $m\times n$ 矩阵 $A_{ij}^T=A_{ji}$。列向量的转置是行向量。

1.2.2 矩阵的向量空间

记 $M(n,m)$ 为 $n\times m$ 矩阵的集合。它包含零矩阵 $O$，其中 $O_{ij}=0$。当 $m=1$ 时，它就是零向量。$M(n,m)$ 中两矩阵的加法 $A+B$ 定义为 $$(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.$$ 标量乘法 $\lambda A$ 定义为 $$(\lambda A{)}_{ij}=\lambda A_{ij}$$ 若 $\lambda$ 是实数。这些运算使 $M(n,m)$ 成为一个向量空间 $=$ 线性空间：加法满足结合律、交换律，存在唯一的加法逆元 $-A$ 满足 $$A-A=0.$$ 乘法满足分配律：$$A(B+C)=AB+AC$$ 和 $$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$$ 以及 $$\lambda (\mu A)=(\lambda \mu )A.$$

1.2.3 欧几里得空间、点积与长度

空间 $M(n,1)$ 也称为 ${ℝ}^n$。它是 $𝒏$维欧几里得空间。向量空间 ${ℝ}^2$ 是平面，${ℝ}^3$ 是物理空间。这些空间对我们来说很亲切，因为我们在纸上作画并生活在空间中。两个列向量 $v,w\in {ℝ}^n$ 之间的点积是矩阵乘积 $$v\cdot w=v^{T}w.$$ 因为点积是一个标量，该乘积也称为标量积。在两个矩阵 $A,B$ 的矩阵乘积中，$(i,j)$ 位置的元素是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的点积。更一般地，两个任意 $n\times m$ 矩阵之间的点积可以定义为 $$A\cdot B=\mathrm{tr}(A^{T}B),$$ 其中矩阵的迹是其对角线元素之和。这意味着 $$\mathrm{tr}(A^{T}B)=\sum _{i,j}{A}_{ij}{B}_{ij}.$$ 我们只需将所有矩阵元素相乘后相加。点积满足分配律 $$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$$ 和交换律 $$v\cdot w=w\cdot v.$$ 我们可以用它来定义向量的长度 $$|v|=\sqrt{v\cdot v}$$ 或矩阵的长度 $|A|$，我们取正平方根。平方和为零当且仅当所有分量为零。因此，唯一满足 $|v|=0$ 的向量是 $v=0$。

1.2.4 柯西-施瓦茨不等式

一个重要的关键结果是柯西-施瓦茨不等式。

1.2.5 两向量之间的夹角

由柯西-施瓦茨不等式可知，对任意两个非零向量 $v,w$，数值 $(v\cdot w)/(|v||w|)$ 落在闭区间 $[-1,1]$ 内：$$-1\le \frac{u\cdot w}{|v||w|}\le 1.$$ 因此存在唯一的角 $\alpha \in [0,\pi ]$ 使得 $$\cos (\alpha )=\frac{v\cdot w}{|v||w|}$$ 如果 $v$ 和 $w$ 之间的这个夹角等于 $\alpha =\pi /2$，则两向量正交。如果 $\alpha =0$ 或 $\pi$，则两向量称为平行。此时存在实数 $\lambda$ 使得 $v=\lambda w$。零向量既被认为与任何其他向量正交，也被认为与任何其他向量平行。

1.2.6 余弦定理

两个向量 $v,w$ 在欧几里得空间 ${ℝ}^n$ 中定义了一个（可能退化的）三角形 $\{0,v,w\}$。上述公式在点 $0$ 处定义了一个角 $\alpha$（可能是零角）。三角形的边长 $a=|v|,b=|w|,c=|v-w|$ 满足下列余弦公式。这也称为阿尔-卡西恒等式。

1.2.7 理解毕达哥拉斯定理：余弦定理的特例

特别重要的是 $\alpha =\pi /2$ 的情况。它就是毕达哥拉斯定理：

1.3 示例

1.4 图示

1.4.1 数学中的无限视野

数学不仅是永恒的，也是无限的。为了说明这一点，请看“永恒者”问题。¹ 定义巴比伦图 $B$，其中正整数为顶点，如果 $a^2+b^2$ 是完全平方数，则 $(a,b)$ 相连。$B$ 中的每条边都属于一个毕达哥拉斯三元组 $a^2+b^2=c^2$。我们可以问会出现哪种类型的子图，有多少个连通分量，直径是否无限，或者闭合回路可以有多大。可以提出成百上千个问题。嵌入三角形 $K_3$ 例如就是欧拉砖！是否存在嵌入四面体 $K_4$，即数字 $(a,b,c,d)$ 的团，其中每一对都是毕达哥拉斯三元组？这将是一个欧拉超立方体。存在吗？在证明任何东西之前，我们有一个数据问题。做实验！

练习