创造力

12.1 引言

12.1.1 数学家如何发现证明？

到目前为止，你已经见过一些证明。你可能会好奇，这些证明是如何被发现的？例如，我们见过柯西-施瓦茨不等式 $| v \cdot w | \leq | v | | w |$ 。人们是如何想到先假设 $| w | = 1$ ，然后定义 $a = v \cdot w$ ，并考察 $0 \leq (v - a w) \cdot (v - a w) = | v |^{2} - a^{2} ?$ 在这个例子中，关键的输入来自一幅直观的图像，我们可以将 $v - a w$ 视为垂直于向量 $w$ 的向量。如果让你在不查阅证明的情况下证明柯西-施瓦茨不等式，这是一项非常困难的任务。它之所以困难，是因为需要一个想法。获得想法正是创造力之所在。

**图 1.** 创造力的机制并非完全神秘。它由不同的部分协同工作，就像齿轮一样。我们尝试审视其中一些部分。在为这些笔记撰写引言时，也遇到了用图片来形象化创造力的任务。当然，你可以谷歌搜索“创造力”并粘贴一张图片。但那是“反创造”的。复制一个想法并不具有创造性。

12.2 研讨会

12.2.1 用思维导图掌握期中考试

再过一周多一点，我们就必须开始考虑第一次期中考试了，让我们整理一下迄今为止积累的知识。我们可以通过多种方式做到这一点。一种技术是思维导图。它能在一张图上组织大量内容，并发现可能被忽略的联系。在图 (12.2) 中，我们开始构建这样一张思维导图。还有很多分支缺失，甚至包括一些主要分支。也可以从一个条目开始，比如“矩阵”，将其放在中心，然后建立与其他对象、定义或结果的连接。

12.2.2 知识：创造力的火花

这与创造力有什么关系？事实证明，要具有创造力，必须拥有肥沃的知识基础。在拥有并理解一些构建模块之前，你无法组装新的模块。为了证明知识的重要性，我们也可以看看计算机科学，特别是人工智能 (AI) 领域。AI 领域的伟大先驱之一，马文·明斯基曾写道：“解决问题的最好方法就是知道如何解决它”。机器学习的现代范式证实，要训练一个 AI 实体，必须输入大量知识供其使用。然后，新模型通过数据拟合、梯度下降方法或更复杂的算法产生。¹

问题 A： 制作一张迄今为止课程中出现的最重要事实的思维导图。可以在纸上、黑板、白板上或使用软件制作。图 (12.2) 是一个开始。尽可能完善它。

12.2.3 棘手的棍子

为了说明获得一个新解决方案有多难，请尝试以下问题。当然，如果你知道答案或已经见过，它可能很容易。如果你从未见过，它可能非常困难。重要的是，即使你可能不成功，也至少要尝试半小时来寻找解决方案。

问题 B： 给定 $6$ 根长度均为 $1$ 的棍子，将它们排列，使得你得到 $4$ 个边长为 $1$ 的等边三角形。

12.2.4 释放隐藏的创造力：弗里茨·兹威基的启示

寻找定理的证明需要创造力。创造力既非“天赐”，也非遗传；它可以像其他任何事物一样被训练。为了支持这一说法，我们引用一位通过发现前人未曾想到的新事物而展现出创造力的科学家。他就是瑞士科学家弗里茨·兹威基，他曾在加州理工学院任教，并写了一本书《人人都是天才》。为什么兹威基有“街头信誉”？嗯，他不仅非凡地富有创造力，还开发并传播了行之有效的创造力技术，这些技术此后在工业界和学术界都得到了应用。

**图 3.** 弗里茨·兹威基在1970年英国布莱顿举行的国际天文学联合会会议上。图片来源：AIP Emilio Segre 视觉档案馆，John Irwin 幻灯片收藏。书籍：弗里茨·兹威基，《人人都是天才》，Lang and Lang，1971年。

12.2.5 暗物质与粗俗笑话：弗里茨·兹威基的故事

首先看他的资历：弗里茨·兹威基提出了暗物质、超新星（与沃尔特·巴德合作）、中子星、银河宇宙射线、星系产生的引力透镜效应以及星系团的存在。他还是火箭技术的先驱。他提出并实现了人类制造物体进入外太空的首次发射。这些成就中的任何一项都足以让他跻身有史以来最伟大天文学家之列。然而，兹威基并不那么广为人知。为什么？也许这与他曾称同事为“球形混蛋”有关。为什么是球形？“因为无论从哪个角度看，他们都是混蛋！”难怪

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