偏微分方程

 

13.1 引言

13.1.1 运动的数学

如果我们能将一个量的变化与另一个量的变化联系起来，偏微分方程便应运而生。最简单的规则之一是函数 f ( t , x ) 在时间上的变化率与空间上的变化率相关联。例如，这样的规则可以表示为 f t ( t , x ) = f x ( t , x ) ，其中 f t 是对 t 的偏导数，而 f x 是对 x 的偏导数。你可以验证 f ( t , x ) = sin ⁡ ( t + x ) 就是满足该微分方程的一个函数例子。甚至可以看到，对于任意函数 g ，函数 f ( t , x ) = g ( t + x ) 也满足 f t = f x 。典型的情况是给定 f ( 0 , x ) ，即“现在”的状态。然后我们就能知道 未来时间 t 的 f ( t , x ) 是什么。这描述了未来的状态。正如你所见，微分方程 f t = f x 描述的是“输运”。初始状态被向左平移。试试看，例如画出 f ( 0 , x ) = x 2 。我们看到 f ( t , x ) = ( x + t ) 2 ，特别地 f ( 1 , x ) = ( x + 1 ) 2 。图像向左移动了。

图 1. 满足微分方程 f t t − f x x = sin ⁡ ( u ) 的函数 f ( t , x ) 。该偏微分方程称为正弦-戈登方程，是一种具有孤波的非线性波动方程。这里空间是一维的，时间从左到右。我们看到一个波左右移动，在边界处反射并积累成一个更大的波峰。一个“怪波”。

13.2 讲座

13.2.1 偏微分方程如何塑造我们的世界

偏微分方程是一种将不同变量的变化率联系起来的规则。我们的生活受到偏微分方程的影响：麦克斯韦方程组描述了电场和磁场 E 与 B 。它们的运动导致了光的传播。爱因斯坦场方程将度量张量 g 与质量张量 T 联系起来。薛定谔方程描述了量子粒子如何运动。像纳维-斯托克斯方程这样的定律支配着流体和气体的运动，特别是海洋中的洋流或大气中的风。偏微分方程也出现在意想不到的地方，比如金融领域，布莱克-舒尔斯方程将期权价格与时间和股票价格联系起来。

13.2.2 偏微分方程与常微分方程的一些例子

如果 f ( x , y ) 是一个二元函数，我们可以对 x 或 y 分别求导。我们将 ∂ x f ( x , y ) 简写为 f x ( x , y ) 。例如，对于 f ( x , y ) = x 3 y + y 2 ，有 f x ( x , y ) = 3 x 2 y 和 f y ( x , y ) = x 3 + 2 y 。如果先对 x 求导再对 y 求导，我们记为 f x y ( x , y ) 。如果对 y 求两次导，我们记为 f y y ( x , y ) 。对于一个未知函数 f ，若方程中出现了关于至少两个不同变量的偏导数，则称其为偏微分方程 (PDE)。如果只出现关于一个变量的导数，则称为常微分方程 (ODE)。偏微分方程的一个例子是 f x 2 + f y 2 = f x x + f y y ，常微分方程的一个例子是 。重要的是要意识到我们寻找的是一个函数，而不是一个数。例如，常微分方程 的解是函数 f ( t ) = C e 3 t 。如果规定一个初始值，如 f ( 0 ) = 7 ，则存在唯一解 f ( t ) = 7 e 3 t 。KdV 偏微分方程 f t + 6 f f x + f x x x = 0 的解是（你猜对了） 2 sech 2 ⁡ ( x − 4 t ) 。这是众多解中的一个。在此情况下它们被称为孤波，即非线性波。Korteweg-de Vries (KdV) 方程是数学领域可积系统中的一个标志，该系统带来了对持续研究（如海洋中的怪波）的深刻理解。

13.2.3 一瞥混合导数的克莱罗定理

如果 f x 和 f y 都是二元连续函数，则称 f ∈ C 1 ( ℝ 2 ) ；如果所有 f x x 、 f y y 、 f x y 和 f y x 都是连续函数，则称 f ∈ C 2 ( ℝ 2 ) 。下一个定理被称为克莱罗定理。它处理的是偏微分方程 f x y = f y x 。该证明展示了反证法。我们将在证明研讨会上进一步探讨这一技巧。

定理 1. 每个 f ∈ C 2 都满足克莱罗方程 f x y = f y x 。

证明. 我们使用富比尼定理，这一定理将在后面的二重积分讲座中出现：积分 ∫ x 0 x 0 + h ( ∫ y 0 y 0 + h f x y ( x , y ) d y ) d x 通过两次应用微积分基本定理得到 类似的计算给出 将富比尼定理应用于 g ( x , y ) = f x y ( x , y ) 可以保证 ∫ y 0 y 0 + h ( ∫ x 0 x 0 + h f y x ( x , y ) d x ) d y = ∫ x 0 x 0 + h ( ∫ y 0 y 0 + h f y x ( x , y ) d y ) d x 因此 ∬ A ( f x y − f y x ) d y d x = 0 。 假设 存在某个 ( x 0 , y 0 ) ，使得 F ( x 0 , y 0 ) = f x y ( x 0 , y 0 ) − f y x ( x 0 , y 0 ) = c > 0 , 那么对于小的 h ，函数 F 在 A = [ x 0 , x 0 + h ] × [ y 0 , y 0 + h ] 上的值处处大于 c / 2 ，因此 ∬ A F ( x , y ) d x d y ≥ area ⁡ ( A ) c / 2 = h 2 c / 2 > 0 与 积分为零矛盾。 ◻

13.2.4 为何连续可微性对克莱罗定理而言还不够

该命题对于只属于 C 1 的函数是不成立的。标准的反例是 f ( x , y ) = 4 x y ( y 2 − x 2 ) / ( x 2 + y 2 ) 当 y ≠ 0 时具有性质 f x ( 0 , y ) = 4 y ，且当 x ≠ 0 时具有性质 f y ( x , 0 ) = − 4 x 。你可以对比一下 f ( x , y ) = 2 x y = r 2 sin ⁡ ( 2 θ ) 和 f ( x , y ) = 4 x y ( y 2 − x 2 ) / ( x 2 + y 2 ) = r 2 sin ⁡ ( 4 θ ) . 后一个函数不属于 C 2 。 f x y 和 f y x 的值，即切线的斜率变化，沿不同方向有不同的表现。

图 2. 克莱罗定理对 f ( x , y ) = 2 x y 成立，该函数在极坐标下为 r 2 sin ⁡ ( 2 θ ) 。但对于函数 f ( x , y ) = 4 x y ( y 2 − x 2 ) / ( x 2 + y 2 ) 不成立，该函数在极坐标下为 2 r 2 sin ⁡ ( 2 θ ) cos ⁡ ( 2 θ ) = r 2 sin ⁡ ( 4 θ ) 。

13.3 示例

13.3.1 求解输运方程的一种方法

在许多情况下，其中一个变量是时间，我们用字母 t 表示，而 x 则作为空间变量。微分方程 f t ( t , x ) = f x ( t , x ) 被称为输运方程。如果给定 f ( 0 , x ) = g ( x ) ，解是什么？这里有一个巧妙的推导：如果 表示导数，1 我们可以构造算子，如 输运方程现在变为 f t = D f 。正如你从微积分中所知，方程 ， f ( 0 ) = b 的唯一解是 b e a t 。如果我们大胆地将数 a 替换为算子 D ，就得到 并得出其解 根据泰勒公式，这等于 g ( x + t ) 。你实际上应该将泰勒公式记为 g ( x + t ) = e D t g ( x ) 。我们已经为 C 1 ( ℝ 2 ) 中的 g ( x ) = f ( 0 , x ) 推导出：

定理 2. f t = f x 的解为 f ( t , x ) = g ( x + t ) 。

证明. 我们可以忽略推导而直接快速验证：该函数满足 f ( 0 , x ) = g ( x ) 和 f t ( t , x ) = f x ( t , x ) 。 ◻

13.3.2 用达朗贝尔公式求解波动方程

偏微分方程的另一个例子是波动方程 f t t = f x x 。我们可以将其写为 ( ∂ t + D ) ( ∂ t − D ) f = 0 。求解此方程的一种方法是考虑 ( ∂ t − D ) f = 0 。这意味着输运 f t = f x 和 f ( t , x ) = f ( x + t ) 。我们也可以有 ( ∂ t + D ) f = 0 ，这意味着 f t = − f x ，从而得到 f ( x − t ) 。我们看到，任意常数组合 a f ( x + t ) + b f ( x − t ) 都是解。调整常数 a , b 使得 f ( x , 0 ) = g ( x ) 和 f t ( x , 0 ) = h ( x ) 就得到如下达朗贝尔解。这要求 g , h ∈ C 2 ( ℝ ) 。

定理 3. f t t = f x x 的解为 f ( t , x ) = g ( x + t ) + g ( x − t ) 2 + h ( x + t ) − h ( x − t ) 2 。

证明. 直接验证这确实是一个解，并且满足 f ( 0 , x ) = g ( x ) 和 f t ( 0 , x ) = h ( x ) 。直观上，如果我们向狭窄的水道扔一块石头，波浪会向两侧移动。 ◻

13.3.3 从热流到正态分布

偏微分方程 f t = f x x 被称为热方程。其解涉及概率论中的正态分布 N ( m , s ) ( x ) = e − ( x − m ) 2 / ( 2 s 2 ) / 2 π s 2 其中 m 是平均值， s 是标准差。

13.3.4 求解热方程

如果初始热量 g ( x ) = f ( 0 , x ) 在时间 t = 0 时连续且在有界区间 [ a , b ] 外为零，则

定理 4. f t = f x x 的解为 f ( t , x ) = ∫ a b g ( m ) N ( m , 2 t ) ( x ) d m 。

证明. 对于每个固定的 m ，函数 N ( m , 2 t ) ( x ) 是热方程的解。

\texttt{\footnotesize{{f}={PDF}[ NormalDistribution [{m}, \textbf{Sqrt}[2 {t}]], {x}]; {\textbf{Simplify}}[{\textbf{D}}[{f}, {t}]=={\textbf{D}}[{f},{{x}, 2}]] }}

将 g 的每个黎曼和近似 g ( x ) = ( 1 / n ) ∑ k = 1 n g ( m k ) 定义为一个函数 f n ( t , x ) = ( 1 / n ) ∑ k = 1 n g ( m k ) N ( m k , 2 t ) ( x ) 该函数是热方程的解。那么 f ( t , x ) = lim n → ∞ f n ( t , x ) . 也是解。要验证 f ( 0 , x ) = g ( x ) ，需要 ∫ − ∞ ∞ N ( m , s ) ( x ) d x = 1 和 ∫ − ∞ ∞ h ( x ) N ( m , s ) ( x ) d x → h ( m ) 对于任意连续函数 h 和 s → 0 ，这将在后面证明。 ◻

13.3.5 拉普拉斯方程的作用

对于三个变量的函数 f ( x , y , z ) ，可以考察偏微分方程 Δ f ( x , y , z ) = f x x + f y y + f z z = 0 。它被称为拉普拉斯方程，而 Δ 被称为拉普拉斯算子。该算子也出现在最重要的偏微分方程之一——薛定谔方程中： i ℏ f t = H f = − ℏ 2 2 m Δ f + V ( x ) f , 其中 ℏ = h / ( 2 π ) 是缩放后的普朗克常数， V ( x ) 是依赖于位置 x 的势，而 m 是质量。对于 i ℏ f t = P f 且 P = − i ℏ D ，则解 f ( x − t ) 是前向平移。算子 P 是量子力学中的动量算符。泰勒公式表明 P 生成平移。

练习

练习 1. 验证对于任意常数 b ，函数 f ( x , t ) = e − b t sin ⁡ ( x + t ) 满足受驱动输运方程 f t ( x , t ) = f x ( x , t ) − b f ( x , t ) . 该偏微分方程有时被称为具有阻尼 b 的平流方程。

练习 2. 我们在课堂上看到 f ( t , x ) = e − x 2 / ( 4 t ) / 4 π t 是热方程 f t = f x x 的解。更一般地验证 e − x 2 / ( 4 a t ) / 4 a π t 是热方程 f t = a f x x . 的解。

练习 3. 程函方程 f x 2 + f y 2 = 1 用于光学。令 f ( x , y ) 为到圆 x 2 + y 2 = 1 的距离。证明它满足程函方程。

注：该方程可以改写为 ‖ d f ‖ 2 = 1 ，其中 d f = ∇ f = [ f x , f y ] 是 f 的梯度，它也是映射 f : ℝ 2 → ℝ 的雅可比矩阵。

练习 4. 微分方程 f t = f − x f x − x 2 f x x 是布莱克-斯科尔斯方程的一种形式。这里 f ( x , t ) 是看涨期权的价格， x 是股票价格， t 是时间。找到一个同时依赖于 x 和 t 的解 f ( x , t ) 。

提示：首先寻找形如 f ( x , t ) = g ( t ) 或 f ( x , t ) = h ( x ) 的解，然后寻找形如 f ( x , t ) = g ( t ) + h ( x ) 的函数。

练习 5. 偏微分方程 f t + f f x = f x x 被称为伯格斯方程，用于描述海滩上的波浪。在更高维度中，它导出纳维-斯托克斯方程，后者用于描述天气。验证函数 f ( t , x ) = ( 1 t ) 3 / 2 x e − x 2 4 t 1 t e − x 2 4 t + 1 是伯格斯方程的解。你最好使用技术手段。

  1. 我们通常用 d f 表示导数，但 D 表明它是一个算子。D也代表狄拉克。↩︎