随机变量函数的联合概率律

在第9节中，我们较为详细地讨论了求随机变量函数的个体概率律的问题。接下来自然要考虑求作为函数产生的多个随机变量的联合概率律的问题。原则上，这个问题与之前考虑的问题并无不同。然而，细节更为复杂。因此，在本节中，我们仅给出一个常用公式，用于求 $n$ 个随机变量 $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}$ 的联合概率密度函数，这些随机变量是由 $n$ 个联合连续的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 的函数产生的：我们仅考虑函数 $g_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ， $g_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), g_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 在所有点 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 处具有连续的一阶偏导数，且使得雅可比行列式

$J (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = | \begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial g_{n}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{n}}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial g_{n}}{\partial x_{n}} \end{matrix} | \neq 0$ 在所有点 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 处成立。设 $C$ 为使得 $n$ 个方程 $\begin{align} ended with \end{aligned}\begin{align} y_{1}&=g_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right),\\ y_{2}&=g_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right),\\ &\vdots\\ y_{n}&=g_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \end{aligned}\tag{10.3}$ \]至少有一个解 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 的点 $(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ 的集合。那么，(10.3)中的方程组恰好有一个解，我们将其记为 $\begin{align} ended with \end{aligned}\begin{align} x_{1}&=g^{-1}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right),\\ x_{2}&=g^{-1}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right),\\ &\vdots\\ x_{n}&=g^{-1}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right). \end{aligned} \tag{10.4}$ \]

如果 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是联合连续的随机变量，其联合概率密度函数在 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 空间中除有限个点外均连续，那么由(10.1)定义的随机变量 $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}$ 是联合连续的，其联合概率密度函数由下式给出如果 $(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ 属于 $C$ ，且 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 由(10.4)给出；对于不属于 $C$ 的 $(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$

应当注意，(10.5)是(8.18)的推广。我们留给读者去阐述(8.22)的类似推广。

我们省略随机变量 $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}$ 是联合连续且具有联合概率密度的证明。我们概述一下由(10.5)给出的联合概率密度函数公式的证明。可以证明，对于任意实数 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ (10.6)式右边的概率等于

其中 $\begin{array}{r} D_{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) : u_{1} \leq g_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \leq u_{1} + h_{1}, \dots, \\ u_{n} \leq g_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \leq u_{n} + h_{n}} . \end{array}$

现在，如果 $(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$ 不属于 $C$ ，那么对于足够小的 $h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n}$ 值， $D_{n}$ 中没有点 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，且(10.7)中的概率为0。由于(10.6)中取极限的量对于足够小的 $h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n}$ 值为0，因此对于不在 $C$ 中的 $(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})$ ，有 $f_{Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}} (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}) = 0$ 。这样就证明了(10.5)。为了证明(10.5)，我们使用著名的多重积分变量替换公式（参见 R. Courant, 微积分学, Interscience, New York, 1937, Vol II, p. 253, 或 T. Apostol, 数学分析, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1957, p. 271）将(10.7)式右边的积分变换为积分

用(10.8)中的积分替换(10.6)式右边的概率，然后取(10.6)中所示的极限，我们最终得到(10.5)。

例10A。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是联合连续的随机变量。令 $U_{1} = X_{1} + X_{2}, U_{2} = X_{1} - X_{2}$ 。对于任意实数 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ ，证明

解

令 $g_{1} (x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2}$ 和 $g_{2} (x_{1}, x_{2}) = x_{1} - x_{2}$ 。方程 $u_{1} = x_{1} + x_{2}$ 和 $u_{2} = x_{1} - x_{2}$ 显然有解 $x_{1} = (u_{1} + u_{2}) / 2$ 和 $x_{2} = (u_{1} - u_{2}) / 2$ 。雅可比行列式 $J$ 由下式给出

$J = | \begin{matrix} \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{2}} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} | = - 2.$

鉴于这些事实，(10.9)是(10.5)的直接结果。

用完全相同的方法可以建立以下结果：

例10B。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是联合连续的随机变量。令那么对于任意实数 $r$ 和 $α$ ，满足 $r \geq 0$ 和 $0 \leq α \leq 2 π$ ，有应当注意，我们立即从(10.11)得到由(9.13 $)$ 给出的 $f_{R} (r)$ 的公式，因为

例10C。坐标轴旋转。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是联合分布的随机变量。对于区间 $0 \leq α \leq 2 π$ 中的某个角度 $α$ ，令那么为了说明(10.14)的用法，考虑两个联合正态分布的随机变量，其联合概率密度函数由(9.31)给出，且 $m_{1} = m n_{2} = 0$ 。那么其中

从(10.15)可以看出，通过坐标轴旋转从联合正态分布的随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 得到的两个随机变量 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 是联合正态分布的。此外，如果旋转角度 $α$ 选择得使

那么 $B = 0$ ，且 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 是独立正态分布的。因此通过适当的坐标轴旋转，两个联合正态分布的随机变量可以变换为两个独立正态分布的随机变量。

理论习题

10.1。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是独立的随机变量，每个都服从参数为 $λ$ 的指数分布。证明随机变量 $X_{1} + X_{2}$ 和 $X_{1} / X_{2}$ 是独立的。

10.2。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是独立的随机变量，每个都服从参数为 $m = 0$ 和 $σ > 0$ 的正态分布。证明 $X_{1}^{2} + X_{2}^{2}$ 和 $X_{1} / X_{2}$ 是独立的。

10.3。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是独立的随机变量，分别服从自由度为 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的 $χ^{2}$ 分布。证明 $X_{1} + X_{2}$ 和 $X_{1} / X_{2}$ 是独立的。

10.4。设 $X_{1}, X_{2}$ 和 $X_{3}$ 是独立同分布的正态随机变量。令 $\bar{X} = (X_{1} + X_{2} + X_{3}) / 3$ 和 $S = {(X_{1} - \bar{X})}^{2} + {(X_{2} - \bar{X})}^{2} +$ ${(X_{3} - \bar{X})}^{2}$ 。证明 $\bar{X}$ 和 $S$ 是独立的。

10.5。生成正态分布随机变量的随机样本。设 $U_{1}, U_{2}$ 是独立的随机变量，每个都在区间0到1上均匀分布。证明随机变量是独立的随机变量，每个都服从均值为0、方差为1的正态分布。（关于此结果的讨论，参见 G. E. P. Box 和 Mervin E. Muller, “A note on the generation of random normal deviates,” 数理统计年鉴, Vol. 29 (1958), pp. 610-611。）

习题

10.1。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是独立的随机变量，每个都服从参数为 $λ = \frac{1}{2}$ 的指数分布。求 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 的联合概率密度函数，其中 (i) $Y_{1} = X_{1} + X_{2}, Y_{2} = X_{1} - X_{2}$ ，(ii) $Y_{1} =$ 最大值 $(X_{1}, X_{2}), Y_{2} = 最小值 (X_{1}, X_{2})$ 。

答案

(i) $\frac{1}{8} e^{- 1 / 2 y_{1}}$ 如果 $y_{1} > 0, | y_{2} | \leq y_{1}; 0$ 否则；(ii) $\frac{1}{2} e^{- 1 / 2 (y_{1} + y_{2})}$ 如果 $0 \leq y_{2} < y_{1}$ 且 $y_{1} \geq 0; 0$ 否则。

10.2。设 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 具有由下式给出的联合概率密度函数 $如果否则$ 求 $(R, θ)$ 的联合概率密度函数，其中 $R =$ $\sqrt{X_{1}^{2} + X_{2}^{2}}$ 且 $θ = \tan^{- 1} X_{2} / X_{1}$ 。证明并解释为什么 $R^{2}$ 是均匀分布的而 $R$ 不是。

10.3。设 $X$ 和 $Y$ 是独立的随机变量，每个都在区间0到1上均匀分布。求随机变量 $R$ 和 $θ$ 的个体和联合概率密度函数，其中 $R = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ 且 $θ = \tan^{- 1} Y ∣ X$ 。

Answer

$f_{R, 0} (r, α) = r$ if $0 < r \cos α, r \sin α < 1; 0$ otherwise; $f_{R} (r) = \frac{π}{2} r$ for $0 < r \leq 1$ , $(2 \csc^{- 1} r - \frac{π}{2})$ for $1 \leq r \leq \sqrt{2}; 0$ otherwise; $f_{0} (θ) = \frac{1}{2} \sec^{2} θ$ for $0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ ; $\frac{1}{2} \csc^{2} θ$ for $\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2}; 0$ otherwise.

10.4 . Two voltages $X (t)$ and $Y (t)$ are independently and normally distributed with parameters $m = 0$ and $σ = 1$ . These are combined to give two new voltages, $U (t) = X (t) + Y (t)$ and $V (t) = X (t) - Y (t)$ . Find the joint probability density function of $U (t)$ and $V (t)$ . Are $U (t)$ and $V (t)$ independent? Find $P [U (t) > 0, V (t) < 0]$ .