生灭过程

在本节中，我们简要说明如何通过微分方程推导泊松概率律以及与之相关的各种概率律。所考察的过程在随机过程文献中被称为“生灭过程”。

考虑一个总体，例如气体某子体积中存在的分子、放射源发射的粒子、某环境中存在的某种生物有机体、排队等候服务的人，等等。令 $X_t$ 为给定时间 $t$ 的总体大小。$X_t$ 的概率律由其概率质量函数指定，
 

在类似于推导 (3.1) 时所做假设但比之更一般的假设下，可以找到 $X_t$ 的概率质量函数的微分方程。在阅读以下讨论时，读者应尝试自己明确表述所做的假设。对此讨论的严格处理见 W. Feller 著《概率论及其应用导论》，Wiley，1957 年，第 397–411 页。

设 $r_0(h),r_1(h)$ 和 $r_2(h)$ 是定义在 上的函数，且具有性质
$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{r_0(h)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{r_1(h)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{r_2(h)}{h}=0.$$ 

假设在从 $t$ 到 $t+h$ 的时间内，总体大小变化两个或更多的概率为 $r_2(h)$ 。对于 $n\ge 1$ ，事件 $X_{t+h}=n$ （在时间 $t+h$ 时总体中有 $n$ 个成员）本质上可以通过以下三种互斥方式之一发生：(i) 在时间 $t$ 时总体大小为 $n$ ，且在从 $t$ 到 $t+h$ 的时间内没有变化；(ii) 在时间 $t$ 时总体大小为 $n-1$ ，且在从 $t$ 到 $t+h$ 的时间内增加一个；(iii) 在时间 $t$ 时总体大小为 $n+1$ ，且在从 $t$ 到 $t+h$ 的时间内减少一个。对于 $n=0$ ，事件 $X_{t+h}=0$ 只能通过方式 (i) 和 (iii) 发生。现在引入量 ${\lambda }_n$ 和 ${\mu }_n$ ，定义如下：对于任意时间 $t$ 和正数 $h$ ，${\lambda }_{n}h+r_1(h)$ 是在给定时间 $t$ 时总体大小为 $n$ 的条件下，在从 $t$ 到 $t+h$ 的时间内总体大小增加一个的条件概率；而 ${\mu }_{n}h+r_0(h)$ 是在给定时间 $t$ 时总体大小为 $n$ 的条件下，在从 $t$ 到 $t+h$ 的时间内总体大小减少一个的条件概率。用符号表示，${\lambda }_n$ 和 ${\mu }_n$ 满足，对于任意时间 $t$ 和小的 ，

(5.2) 中的近似满足：当 $h$ 趋于 0 时，每个方程两边的差趋于 0 的速度比 $h$ 更快。在写接下来的方程时，我们省略当 $h$ 趋于 0 时趋于 0 的速度比 $h$ 更快的项，因为这些项在推导 (5.10) 和 (5.11) 中的微分方程时会消失。读者不妨自行验证这一陈述。

则事件 (i) 的概率为

事件 (ii) 的概率为

事件 (iii) 的概率为

因此，对于 $n\ge 1$ ，得到

对于 $n=0$ ，得到

可以注意到，如果总体大小存在一个最大可能值 $N$ ，则 (5.6) 仅对 $1\le n\le N-1$ 成立，而对于 $n=N$ ，得到

重新整理 (5.6)，得到

令 $h$ 趋于 0，最终对于 $n\ge 1$  得到

类似地，对于 $n=0$ ，得到

这些方程解的存在性和唯一性问题并非平凡，此处不予讨论。

我们仅在以下情形求解这些方程

这对应于 (3.1) 之前所做的假设。则 (5.11) 变为

其解为（在假设 $p(0;0)=0$ 下）

接下来，对于 $n=1$ 的情形，(5.10) 变为

其解为（在假设 $p(1;0)=0$ 下）

依此类推，得到（假设 $p(n;0)=0$ ）

因此，在时间 $t$ 时总体大小 $X_t$ 服从均值为 $\lambda t$ 的泊松概率律。

理论习题