概率论：随机现象数学模型研究
关于概率论本质的一种观点是，它属于自然研究的一部分，就像物理学、化学和生物学一样。物理学、化学和生物学各自可被定义为对某些可观察现象的研究，我们可分别称之为物理现象、化学现象和生物现象。类似地，人们可能倾向于将概率论定义为对某些可观察现象，即随机现象的研究。然而，随机现象通常也属于其他类型的现象；它是随机物理现象，或随机化学现象，等等。因此，概率论研究者若将所有随机现象都作为其研究领域，似乎过于雄心勃勃。在本书中，我们持以下观点：概率论并不直接关注随机现象的研究，而是关注可用于研究随机现象的思维方法的研究。更准确地说，我们给出如下定义。
概率论关注的是那些在所有产生随机现象的领域中，对随机现象的研究所共有的分析方法的研究。因此，概率论是对随机现象研究的研究，其意义在于，它关注的是随机现象的那些本质上依赖于随机性概念，而非所考虑现象任何其他方面的性质。更根本地说，随机性、随机现象、统计规律性以及“概率”这些概念，并不能说是显而易见或凭直觉就能理解的。因此，研究概率论的主要目标之一，就是阐明这些概念的含义，并为我们提供对它们的理解，这与学习算术使我们能够计数具体物体，以及学习电磁波理论使我们能够通过无线方式传输信息的方式非常相似。
我们将概率论视为数学的一部分。与数学的所有分支一样，概率论是通过公理化方法构建的。人们从某些未定义的概念开始，然后对这些概念所具有的性质以及它们之间的关系做出某些陈述。这些陈述被称为该理论的公理。然后，通过逻辑演绎，不借助任何经验，从公理中得出各种命题（称为定理）。尽管这些命题并不直接指涉现实世界，而仅仅是公理的逻辑推论，但它们确实代表了关于现实现象的结论，即那些人们愿意假定其具有公理所设定性质的那些现实现象。
由此，我们引出了现实现象的数学模型这一概念。如果一个通过公理化方法构建的数学理论，能够提供一条将数学理论的命题翻译成关于现实现象的命题的规则，那么该理论就被称为该现实现象的一个模型。这个定义是模糊的，因为它没有说明必须采用的翻译规则的特征。然而，上述定义并非旨在成为一个精确的定义，而只是为了让读者对数学模型的概念有一个直观的理解。一般来说，要将一个数学理论用作现实现象的模型，只需要提供一条规则，将数学理论公理所谈论的抽象对象与现实现象的各个方面对应起来。那么，可以预期该理论的定理将在与公理相同的程度上描绘该现象，因为定理仅仅是公理的逻辑推论。
作为为现实现象构建模型问题的一个例子，让我们考虑构建一个数学理论（或解释）的问题，该理论用于解释表1A中记录的经验，该经验使我们相信，一系列长期的试验（从一个装有六个球，其中四个白球两个红球的瓮中抽取一个球的实验）将在大约的试验中抽到白球。在本章的剩余部分，我们将为这一现象构建一个数学理论，我们相信该理论是其某些特征的令人满意的模型。然而，如果我们在此考虑对这一现象的一种解释，然后对其进行批判，或许能阐明所涉及的思想。
我们设想，我们被允许用数字1到6标记瓮中的六个球，用数字1到4标记四个白球。当从瓮中抽取一个球时，有六种可能的结果可以被记录；即，抽到了1号球，抽到了2号球，等等。现在，这些结果中有四种对应于抽到白球这一结果。因此，有利于抽到白球的实验结果数与所有可能结果数之比等于。因此，为了“解释”为什么观察到的从瓮中抽取白球的相对频率等于，人们只需要采纳这个（相当非正式地陈述的）假设：一个事件的概率（意指在某个实验的一系列长期试验中，观察到诸如抽到白球这样的事件发生的相对频率）等于该事件可能被观察到的实验结果数与该实验所有可能结果数之比。
我们可以从几个方面来批评上述解释。首先，有人可能会说它不是数学的，因为它不具备公理和定理的结构。这个缺陷或许可以通过使用我们在本章剩余部分开发的工具来弥补；因此，我们暂不深究这一批评。然而，该解释存在第二个无法弥补的缺陷。所陈述的假设，即事件的概率等于某个比率，并不能导致对所观察现象的解释，因为通过不同的计数方式，可以得到不同的比率值。我们已经得到了该比率为的值；接下来我们得到一个的值。如果有人认为只有两种结果（要么抽到白球，要么抽到非白球），那么恰好其中一种结果有利于抽到白球。因此，有利于抽到白球的结果数与可能结果数之比是。
我们现在着手开发构建令人满意的随机现象模型所需的数学工具。