行列式

当然，可以将前一节的讨论推广到多线性型和多重张量积。我们不深入讨论多线性代数的这部分内容，而是朝着不同的方向前进；我们直接探讨行列式。

假设 $A$ 是 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 上的线性变换，并设 $w$ 是 $𝒱$ 上的交错 $n$ 线性型。如果我们用 $\bar{A}w$ 表示由 $$(\bar{A}w)(x_1,\dots ,x_n)=w(A{x}_1,\dots ,A{x}_n),$$ 定义的函数，那么 $\bar{A}w$ 是 $𝒱$ 上的交错 $n$ 线性型，并且实际上， $\bar{A}$ 是此类形式空间上的线性变换。由于（参见 Section: 最大度数交错型 ）该空间是一维的，因此可以得出 $\bar{A}$ 等于乘以一个适当的标量。换句话说，存在一个标量 $\delta$ ，使得对于每个交错 $n$ 线性型 $w$ ，都有 $\bar{A}w=\delta w$ 。通过这个有些曲折的过程（从 $A$ 到 $\bar{A}$ 再到 $\delta$ ），我们将一个唯一确定的标量 $\delta$ 与 $𝒱$ 上的每个线性变换 $A$ 联系起来；我们称 $\delta$ 为 $A$ 的 行列式 ，并记作 $\delta =detA$ 。注意， $det$ 既不是标量也不是变换，而是一个将标量与每个线性变换联系起来的函数。

我们眼前的目的是研究函数 $det$ 。我们首先寻找最简单的线性变换（即数乘变换）的行列式。如果对于 $𝒱$ 中的每个 $x$ ，都有 $Ax=\alpha x$ ，那么对于每个交错 $n$ 线性型 $w$ ，都有 ；由此可得 $detA={\alpha }^n$ 。我们特别注意到， $\det 0=0$ 且 $\det 1=1$ 。

接下来我们探究 $det$ 的乘法性质。假设 $A$ 和 $B$ 是 $𝒱$ 上的线性变换，并记 $C=AB$ 。如果 $w$ 是交错 $n$ 线性型，那么 ，因此 $\bar{C}=\bar{B}\bar{A}$ 。由于 $${\bar{C}}_w=(\det C)w$$ 且 $$\bar{B}\bar{A}w=(\det B)\bar{A}w=(\det B)(\det A)w,$$ ，由此可得 $$\det (AB)=(\det A)(\det B).$$ （ $det$ 的值是标量，因此它们彼此对易。）

如果 $\det A=0$ ，则称线性变换 $A$ 是 奇异的 ，否则称为 非奇异的 。我们的下一个结论是， $A$ 可逆当且仅当它是非奇异的。事实上，如果 $A$ 可逆，那么 $$1=\det 1=\det (A{A}^{-1})=(\det A)(\det A^{-1}),$$ 从而 $\det A\ne 0$ 。另一方面，假设 $\det A\ne 0$ 。如果 $\{x_1,\dots ,x_n\}$ 是 $𝒱$ 中的一组基，且 $w$ 是 $𝒱$ 上的非零交错 $n$ 线性型，那么根据 Section: 交错型 定理 3，有 $(\det A)w(x_1,\dots ,x_n)\ne 0$ 。根据 Section: 交错型 定理 2，这意味着集合 $\{A{x}_1,\dots ,A{x}_n\}$ 是线性无关的（因此是一组基）；由此我们反过来推断出 $A$ 是可逆的。

在经典文献中，行列式被定义为矩阵（而不是线性变换）的函数；我们现在可以与这种方法建立联系。我们将根据 $A$ 在某个坐标系 $\{x_1,\dots ,x_n\}$ 下对应的矩阵元素 ${\alpha }_{ij}$ 来推导 $\det A$ 的表达式。设 $w$ 是一个非零交错 $n$ 线性型；我们知道 如果我们用 $\sum _i{\alpha }_{ij}{x}_i$ 替换 (1) 右侧的每个 $A{x}_j$ ，并利用多线性展开结果，我们将得到诸如 $w(z_1,\dots ,z_n)$ 项的长线性组合，其中每个 $z$ 是 $x$ 之一。（将这部分论证与 Section: 交错型 定理 3 的证明进行比较。）如果在这样的项中，有两个 $z$ 重合，那么由于 $w$ 是交错的，该项必须为零。另一方面，如果所有的 $z$ 都是不同的，那么对于某个置换 $\pi$ ，有 $w(z_1,\dots ,z_n)=\pi w(x_1,\dots ,x_n)$ ，而且每个置换 $\pi$ 都可以以这种方式出现。项 $\pi w(x_1,\dots ,x_n)$ 的系数是乘积 ${\alpha }_{\pi (1),1}\dots {\alpha }_{\pi (n),n}$ 。由于（ Section: 交错型 定理 1） $w$ 是斜对称的，因此可以得出 其中求和范围延伸到 ${𝒮}_n$ 中的所有置换 $\pi$ 。（回想一下，根据 Section: 交错型 定理 3，有 $w(x_1,\dots ,x_n)\ne 0$ ，因此除以 $w(x_1,\dots ,x_n)$ 是合法的。）

从这个经典方程 (2) 中，我们可以通过直接计算推导出行列式的许多特殊性质。这里有一个例子。如果 $\sigma$ 和 $\pi$ 是置换（在 ${𝒮}_n$ 中），那么（因为 $\pi \sigma$ 也是一个置换），可以得出乘积 ${\alpha }_{\pi (1),1}\dots {\alpha }_{\pi (n),n}$ 和 ${\alpha }_{\pi \sigma (1),\sigma (1)}\dots {\alpha }_{\pi \sigma (n),\sigma (n)}$ 仅在因子的顺序上有所不同。如果对于每个 $\pi$ ，我们取 $\sigma ={\pi }^{-1}$ ，然后相应地改变 (2) 中的每个被加项，我们得到 $$\det A=\sum _{\pi }(\mathrm{sgn}\pi ){\alpha }_{1,\pi (1)}\dots {\alpha }_{n,\pi (n)}.$$ （注意 $\mathrm{sgn}\pi =\mathrm{sgn}{\pi }^{-1}$ ，并且对所有 $\pi$ 的求和与对所有 ${\pi }^{-1}$ 的求和是相同的。）由于这最后一个求和与 (2) 中的求和非常相似，只是用 ${\alpha }_{i,\pi (i)}$ 代替了 ${\alpha }_{\pi (i),i}$ ，因此将 (2) 应用于 代替 $A$ ，可以得出  

这是关于行列式的另一个有用事实。如果 $ℳ$ 是在 $A$ 下不变的子空间，如果 $B$ 是仅在 $ℳ$ 上考虑的变换 $A$ ，并且如果 $C$ 是商变换 $A/ℳ$ ，那么 $\det A=\det B\cdot \det C$ 。特别地，如果 $A$ 是两个变换 $B$ 和 $C$ 的直和，则该乘法关系成立。证明可以直接基于行列式的定义，或者基于前一段中得到的展开式。

如果对于一个固定的线性变换 $A$ ，我们记 $p(\lambda )=\det (A-\lambda )$ ，那么 $p$ 是标量 $\lambda$ 的函数；我们断言，它实际上是关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，且 ${\lambda }^n$ 的系数为 $(-1{)}^n$ 。为了证明这一点，我们可以使用 (1) 的记号。很容易看出， $w((A-\lambda )x_1,\dots ,(A-\lambda )x_n)$ 是诸如 ${\lambda }^{k}w(y_1,\dots ,y_n)$ 项的和，其中对于恰好 $k$ 个 $i$ 值有 $y_i=x_i$ ，而对于其余的 $n-k$ 个 $i$ 值有 $y_i=A{x}_i$ （ $k=0,1,\dots ,n$ ）。多项式 $p$ 称为 $A$ 的 特征多项式 ；方程 $p=0$ ，即 $\det (A-\lambda )=0$ ，是 $A$ 的 特征方程 。 $A$ 的特征方程的根（即满足 $\det (A-\alpha )=0$ 的标量 $\alpha$ ）称为 $A$ 的 特征根 。

练习