秩一变换

我们通过描述秩 $\leq 1$ 的线性变换的矩阵来结束对秩的讨论。

定理 1。如果有限维向量空间 $𝒱$ 上的线性变换 $A$ 满足 $ρ (A) \leq 1$ （即 $ρ (A) = 0$ 或 $ρ (A) = 1$ ），那么在每个坐标系中， $A$ 的矩阵 $[A] = (α_{i j})$ 的元素都具有 $α_{i j} = β_{i} γ_{j}$ 的形式；反之，如果 $A$ 的矩阵在某一个坐标系中具有这种形式，那么 $ρ (A) \leq 1$ 。

证明。如果 $ρ (A) = 0$ ，那么 $A = 0$ ，该陈述是平凡的。如果 $ρ (A) = 1$ ，即 $ℛ (A)$ 是一维的，那么在 $ℛ (A)$ 中存在一个非零向量 $x_{0}$ （ $ℛ (A)$ 中的一个基），使得 $ℛ (A)$ 中的每个向量都是 $x_{0}$ 的倍数。因此，对于每个 $x$ ，有 $A x = y_{0} x_{0},$ 其中标量系数 $y_{0}$ （ $= y_{0} (x)$ ）当然取决于 $x$ 。 $A$ 的线性性质意味着 $y_{0}$ 是 $𝒱$ 上的线性泛函。设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的一个基，并设 $(α_{i j})$ 是对应的 $A$ 的矩阵，从而有 $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} x_{i} .$ 如果是中的对偶基，那么（参见章节：投影的伴随，(2)） $α_{i j} = [A x_{j}, y_{i}] .$ 在当前情况下， $α_{i j} = [y_{0} (x_{j}) x_{0}, y_{i}] = y_{0} (x_{j}) [x_{0}, y_{i}] = [x_{0}, y_{i}] [x_{j}, y_{0}];$ 换句话说，我们可以取 $β_{i} = [x_{0}, y_{i}]$ 和 $γ_{j} = [x_{j}, y_{0}]$ 。

反之，假设在固定的坐标系 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 中， $A$ 的矩阵 $(α_{i j})$ 满足 $α_{i j} = β_{i} γ_{j}$ 。我们可以找到一个线性泛函 $y_{0}$ 使得 $γ_{j} = [x_{j}, y_{0}]$ ，并且我们可以通过 $x_{0} = \sum_{k} β_{k} x_{k}$ 来定义一个向量 $x_{0}$ 。由 $\tilde{A} x = y_{0} (x) x_{0}$ 定义的线性变换 $\tilde{A}$ 显然是秩为 1 的（当然，除非对所有的 $i$ 和 $j$ 都有 $α_{i j} = 0$ ），并且它在坐标系 $𝒳$ 中的矩阵 $({\tilde{α}}_{i j})$ 由 ${\tilde{α}}_{i j} = [\tilde{A} x_{j}, y_{i}]$ 给出（其中是 $𝒳$ 的对偶基）。因此 ${\tilde{α}}_{i j} = [y_{0} (x_{j}) x_{0}, y_{i}] = [x_{0}, y_{i}] [x_{j}, y_{0}] = β_{i} γ_{j},$ 并且，由于 $A$ 和 $\tilde{A}$ 在同一个坐标系中具有相同的矩阵，因此可以得出 $\tilde{A} = A$ 。定理证毕。 ◻

以下定理有时使我们能够应用定理 1 来获得关于任意线性变换的结论。

定理 2。如果 $A$ 是有限维向量空间 $𝒱$ 上秩为 $ρ$ 的线性变换，那么 $A$ 可以写成 $ρ$ 个秩为 1 的变换之和。

证明。由于 $A 𝒱 = ℛ (A)$ 的维数为 $ρ$ ，我们可以找到 $ρ$ 个向量 $x_{1}, \dots, x_{ρ}$ 构成 $ℛ (A)$ 的一个基。由此可知，对于 $𝒱$ 中的每个向量 $x$ ，我们有 $A x = \sum_{i = 1}^{ρ} ξ_{i} x_{i},$ 其中每个 $ξ_{i}$ 当然取决于 $x$ ；我们记作 $ξ_{i} = y_{i} (x)$ 。很容易看出 $y_{i}$ 是一个线性泛函。利用这些 $y_{i}$ ，我们对每个 $i = 1, \dots, ρ$ ，通过 $A_{i} x = y_{i} (x) x_{i}$ 定义一个线性变换 $A_{i}$ 。由此可知，每个 $A_{i}$ 的秩都为 1，且 $A = \sum_{i = 1}^{ρ} A_{i}$ 。（将此结果与章节：线性变换的例 (2) 进行比较。） ◻

对刚才给出的证明进行微调，可以得到以下结果。

定理 3。对应于有限维向量空间 $𝒱$ 上的任何线性变换 $A$ ，都存在一个可逆线性变换 $P$ ，使得 $P A$ 是一个投影。

证明。设 $ℛ$ 和 $𝒩$ 分别是 $A$ 的值域和零空间，并设 ${x_{1}, \dots, x_{ρ}}$ 是 $ℛ$ 的一个基。设 $x_{ρ + 1}, \dots, x_{n}$ 是使得 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 成为 $𝒱$ 的一个基的向量。由于对于 $i = 1, \dots, ρ$ ， $x_{i}$ 在 $ℛ$ 中，我们可以找到向量 $y_{i}$ 使得 $A y_{i} = x_{i}$ ；最后，我们选择 $𝒩$ 的一个基，可以记为 ${y_{ρ + 1}, \dots, y_{n}}$ 。我们断言 ${y_{1}, \dots, y_{n}}$ 是 $𝒱$ 的一个基。当然，我们只需要证明这些 $y$ 是线性无关的。为此，我们假设 $\sum_{i = 1}^{n} α_{i} y_{i} = 0$ ；那么我们有（记住对于 $i = ρ + 1, \dots, n$ ，向量 $y_{i}$ 属于 $𝒩$ ） $A (\sum_{i = 1}^{n} α_{i} y_{i}) = \sum_{i = 1}^{ρ} α_{i} x_{i} = 0,$ 由此得出 $α_{1} = \dots = α_{ρ} = 0$ 。因此 $\sum_{i = ρ + 1}^{n} α_{i} y_{i} = 0$ ；而 $y_{ρ + 1}, \dots, y_{n}$ 的线性无关性表明其余的 $α$ 也必须为零。

我们所断言其存在的这类线性变换 $P$ ，现在由条件 $P x_{i} = y_{i}$ （ $i = 1, \dots, n$ ）所确定。事实上，如果 $i = 1, \dots, ρ$ ，那么 $P A y_{i} = P x_{i} = y_{i}$ ，而如果 $i = ρ + 1, \dots, n$ ，那么 $P A y_{i} = P 0 = 0$ 。 ◻

考虑到 $A$ 的伴随以及 $𝒱$ 的自反性，表明我们也可以找到一个可逆的 $Q$ ，使得 $A Q$ 是一个投影。在 $A$ 本身可逆的情况下，我们必须有 $P = Q = A^{- 1}$ 。

练习

练习 1。 $𝒫_{n}$ 上的微分算子的秩是多少？它的零度是多少？

练习 2。求下列矩阵的秩。

$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$

练习 3。如果 $A$ 是在线性变换空间上左乘 $P$ （参见章节：变换的矩阵，例 5），且 $P$ 的秩为 $m$ ，那么 $A$ 的秩是多少？

练习 4。两个线性变换（在有限维向量空间上）的直和的秩等于它们的秩之和。

练习 5。

如果 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 维向量空间上的线性变换，且 $A B = 0$ ，那么 $ρ (A) + ρ (B) \leq n$ 。
对于 $n$ 维向量空间上的每个线性变换 $A$ ，都存在一个线性变换 $B$ 使得 $A B = 0$ 且满足 $ρ (A) + ρ (B) = n$ 。

练习 6。如果 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是有限维向量空间上的线性变换，那么 $ρ (A B) + ρ (B C) \leq ρ (B) + ρ (A B C) .$

练习 7。证明两个线性变换（在同一个有限维向量空间上）等价当且仅当它们具有相同的秩。

练习 8。

假设 $A$ 和 $B$ 是（在同一个有限维向量空间上的）线性变换，满足 $A^{2} = A$ 且 $B^{2} = B$ 。那么 $A$ 和 $B$ 相似当且仅当 $ρ (A) = ρ (B)$ 是否成立？
假设 $A$ 和 $B$ 是（在同一个有限维向量空间上的）线性变换，满足 $A \neq 0$ ， $B \neq 0$ 且 $A^{2} = B^{2} = 0$ 。那么 $A$ 和 $B$ 相似当且仅当 $ρ (A) = ρ (B)$ 是否成立？

练习 9。

如果 $A$ 是秩为 1 的线性变换，那么存在唯一的标量 $α$ 使得 $A^{2} = α A$ 。
如果 $α \neq 1$ ，那么 $1 - A$ 是可逆的。