相似性

以下两个问题与前一节的问题密切相关。

问题 III。如果 $B$ 是 $𝒱$ 上的线性变换，那么它关于 $𝒳$ 的矩阵 $(β_{i j})$ 与它关于 $𝒴$ 的矩阵 $(γ_{i j})$ 之间有什么关系？

问题 IV。如果 $(β_{i j})$ 是一个矩阵，那么分别由 $B x_{j} = \sum_{i} β_{i j} x_{i}$ 和 $C y_{j} = \sum_{i} β_{i j} y_{i}$ 定义的线性变换 $B$ 和 $C$ 之间有什么关系？

问题 III 和 IV 是我们之前提出的一个问题的具体表述：对于一个变换，（在不同的坐标系中）对应着许多矩阵（问题 III）；而对于一个矩阵，对应着许多变换（问题 IV）。

问题 III 的解答。我们有以及利用前一节中定义的线性变换 $A$ ，我们可以写出以及比较 (2)、(3) 和 (4)，我们看到 $\sum_{k} α_{i k} γ_{k j} = \sum_{k} β_{i k} α_{k j} .$ 利用矩阵乘法，我们可以将其写成如下危险的简单形式其危险之处在于，(5) 中四个矩阵里的三个对应于它们在基 $𝒳$ 下的线性变换；而第四个——即我们用 $[C]$ 表示的那个——对应于 $B$ 在基 $𝒴$ 下的矩阵。然而，在这样理解的前提下，(5) 是正确的。在已知 $[A]$ 和 $[B]$ 时，原则上适用于计算 $[C]$ 的 (5) 的更常用形式是

问题 IV 的解答。为了揭示这个问题及其解答的本质上的几何特征，我们观察到 $C y_{j} = C A x_{j}$ 以及因此 $C$ 满足 $C A x_{j} = A B x_{j},$ 或者最终，对于 (7) 来说，不存在类似于让我们对 (6) 的解释有所保留的那种麻烦；为了求得线性变换（而非矩阵） $C$ ，我们只需将变换 $A$ 、 $B$ 和 $A^{- 1}$ 相乘，而无需提及坐标系。然而，对比公式 (6) 和 (7)，我们再次观察到数学符号天生的反常性。这仅仅是第 37 节和第 38 节中已经注意到的事实的另一个方面。

如果存在一个满足 (6) 的可逆矩阵 $[A]$ ，则称两个矩阵 $[B]$ 和 $[C]$ 是相似的；如果存在一个满足 (7) 的可逆变换 $A$ ，则称两个线性变换 $B$ 和 $C$ 是相似的。用这种语言，问题 III 和 IV 的解答可以非常简短地表达；在两种情况下，答案都是所给的矩阵或变换必须是相似的。

在得到了问题 IV 的解答之后，我们现在看到在其表述中存在太多的下标。(7) 的正确性是一个几何事实，完全独立于 $A, B$ 和 $C$ 可能具有的线性、有限维性或任何其他偶然属性；问题 IV 的解答也是一个更一般问题的解答。这个几何问题是问题 IV 的解析表述的改写，它是这样的：如果 $B$ 变换 $𝒱$ ，且 $C$ 以同样的方式变换 $A 𝒱$ ，那么 $B$ 和 $C$ 之间有什么关系？“同样的方式”这一表述并不像听起来那么含糊；它的意思是，如果 $B$ 将 $x$ 映射到（比方说） $u$ ，那么 $C$ 将 $A x$ 映射到 $A u$ 。答案当然和之前一样：因为 $B x = u$ 且 $C y = v$ （其中 $y = A x$ 且 $v = A u$ ），我们有 $A B x = A u = v = C y = C A x .$ 这种情况可以很方便地总结在以下助记图中：我们可以通过捷径 $C$ 从 $y$ 到达 $v$ ，或者绕道而行；换句话说， $C = A B A^{- 1}$ 。请记住， $A B A^{- 1}$ 作用于 $y$ 时是从右向左进行的：首先是 $A^{- 1}$ ，然后是 $B$ ，最后是 $A$ 。

我们已经看到，基变换的理论与可逆线性变换的理论是等延的。可逆线性变换是一个自同构，这里自同构是指向量空间到其自身的同构。（参见节：同构。）相反地，我们注意到每个自同构都是一个可逆线性变换。

我们希望线性变换与矩阵之间的关系现在已经足够清楚，以至于在下文中，当我们希望给出具有各种性质的线性变换的例子时，读者不会反对我们仅写出一个矩阵。对这一步骤的解释始终是，我们心中想的是具体的向量空间 $ℂ^{n}$ （或其推广版本之一 $𝔽^{n}$ ）以及由 $x_{i} = (δ_{i 1}, \dots, δ_{i n})$ 定义的具体基 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 。在这样理解的前提下，矩阵 $(α_{i j})$ 当然定义了一个唯一的线性变换 $A$ ，由常用公式给出： $A (\sum_{i} ξ_{i} x_{i}) = \sum_{i} (\sum_{j} α_{i j} ξ_{j}) x_{i} .$

练习

练习 1。如果 $A$ 是从向量空间 $𝒰$ 到向量空间 $𝒱$ 的线性变换，那么对应于中的每个固定向量 $y$ ，在中都存在一个向量（不妨记为），使得对于 $𝒰$ 中的所有 $x$ ，都有。证明是从到的线性变换。（变换称为 $A$ 的伴随变换。）针对这一伴随概念，解释并证明节：伴随中公式 (2)-(8) 里尽可能多的公式。

练习 2。

证明向量空间上线性变换的相似性是一个等价关系（即它是自反的、对称的和传递的）。
如果 $A$ 相似于标量 $α$ ，那么 $A = α$ 。
如果 $A$ 和 $B$ 相似，那么 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ 、和也相似，并且在 $A$ 和 $B$ 可逆的情况下， $A^{- 1}$ 和 $B^{- 1}$ 也相似。
将相似性的概念推广到定义在不同向量空间上的两个变换。上述哪些结果对于推广后的概念仍然成立？

练习 3。

如果 $A$ 和 $B$ 是同一个向量空间上的线性变换，且其中至少有一个是可逆的，那么 $A B$ 和 $B A$ 相似。
如果 $A$ 和 $B$ 都不可逆，(a) 的结论仍然成立吗？

练习 4。如果 $ℂ^{2}$ 上的线性变换 $A$ 关于基 ${(1, 0), (0, 1)}$ 的矩阵是 $[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}],$ 那么 $A$ 关于基 ${(1, 1), (1, - 1)}$ 的矩阵是什么？关于基 ${(1, 0), (1, 1)}$ 呢？

练习 5。如果 $ℂ^{3}$ 上的线性变换 $A$ 关于基 ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ 的矩阵是 $[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{matrix}],$ 那么 $A$ 关于基 ${(0, 1, - 1), (1, - 1, 1), (- 1, 1, 0)}$ 的矩阵是什么？

练习 6。

与线性变换相关联的矩阵的构造依赖于两个基，而不是一个。事实上，如果 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 和 $\overset{―}{𝒳} = {{\bar{x}}_{1}, \dots, {\bar{x}}_{n}}$ 是 $𝒱$ 的基，且 $A$ 是 $𝒱$ 上的线性变换，那么 $A$ 关于 $𝒳$ 和 $\overset{―}{𝒳}$ 的矩阵 $[A; 𝒳, \overset{―}{𝒳}]$ 应该定义为 $A x_{j} = \sum_{i} α_{i j} {\bar{x}}_{i} .$ 正文中采用的定义对应于 $\overset{―}{𝒳} = 𝒳$ 的特例。该特例导出了相似性的定义（如果存在基 $𝒳$ 和 $𝒴$ 使得 $[B; 𝒳] = [C; 𝒴]$ ，则称 $B$ 和 $C$ 是相似的）。由一般情况启发得到的类似关系称为等价；如果存在基对 $(𝒳, \overset{―}{𝒳})$ 和 $(𝒴, \overset{―}{𝒴})$ 使得 $[B; 𝒳, \overset{―}{𝒳}] = [C; 𝒴, \overset{―}{𝒴}]$ ，则称 $B$ 和 $C$ 是等价的。证明这个概念确实是一个等价关系。
两个线性变换 $B$ 和 $C$ 等价当且仅当存在可逆线性变换 $P$ 和 $Q$ 使得 $P B = C Q$ 。
如果 $A$ 和 $B$ 等价，那么和也等价。
是否存在一个线性变换 $A$ ，使得 $A$ 等价于标量 $α$ ，但 $A \neq α$ ？
是否存在线性变换 $A$ 和 $B$ ，使得 $A$ 和 $B$ 等价，但 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ 不等价？
将等价的概念推广到定义在不同向量空间上的两个变换。上述哪些结果对于推广后的概念仍然成立？