投影的伴随

有一种重要的情况，乘法不会颠倒顺序，即当时；也就是说，当 $A$ 和 $B$ 交换时。特别地，我们有，更一般地，对于每个多项式 $p$ ，有。由此可以得出，如果 $E$ 是投影，那么也是投影。这就提出了一个问题：与什么样的直和分解相关联？

定理 1。如果 $E$ 是沿着 $𝒩$ 到 $ℳ$ 上的投影，那么就是沿着 $ℳ^{0}$ 到 $𝒩^{0}$ 上的投影。

证明。我们已经知道且（参见章节：直和的对偶）。我们只需要求出由方程和的解所组成的子空间。我们分四步来做这件事。

如果 $y$ 在 $ℳ^{0}$ 中，那么对于所有的 $x$ ，有从而有。
如果，那么对于 $ℳ$ 中的所有 $x$ ，有从而 $y$ 在 $ℳ^{0}$ 中。
如果 $y$ 在 $𝒩^{0}$ 中，那么对于所有的 $x$ ，有从而有。
如果，那么对于 $𝒩$ 中的所有 $x$ ，有从而 $y$ 在 $𝒩^{0}$ 中。

步骤 (i) 和 (ii) 共同表明，的解集正是 $ℳ^{0}$ ；步骤 (iii) 和 (iv) 共同表明，的解集正是 $𝒩^{0}$ 。定理证毕。 ◻

定理 2。如果 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的，那么 $ℳ^{0}$ 在下也是不变的；如果 $A$ 被 $(ℳ, 𝒩)$ 归约，那么被 $(ℳ^{0}, 𝒩^{0})$ 归约。

证明。我们仅证明第一个陈述；第二个陈述显然可以由此得出。我们首先观察到以下恒等式，它对满足关系 $F = 1 - E$ 的任意三个线性变换 $E$ 、 $F$ 和 $A$ 都成立：（将此与章节：投影与不变性定理 2 的证明进行比较。）设 $E$ 是 $ℳ$ 上的任意投影；根据章节：投影与不变性定理 1，(1) 的右端项为零，因此左端项也为零。通过取伴随，我们得到；由于根据本节的定理 1，是 $ℳ^{0}$ 上的投影，定理 2 的证明至此完成。（这里是定理 2 第一个陈述的另一种证明方法，该证明没有利用 $𝒱$ 是 $ℳ$ 与其他某个子空间的直和这一事实。如果 $y$ 在 $ℳ^{0}$ 中，那么对于 $ℳ$ 中的所有 $x$ ，有，因此在 $ℳ^{0}$ 中。上面给出的代数证明相比于这个简单的几何证明，唯一的优势在于前者为今后使用投影的工作奠定了基础。） ◻

我们通过讨论伴随的矩阵来结束对伴随的讨论；这一讨论旨在阐明整个理论，并使读者能够构造许多例子。

我们将需要以下事实：如果 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 中的任意基，如果是中的对偶基，且线性变换 $A$ 在坐标系 $𝒳$ 下的矩阵是 $(α_{i j})$ ，那么这是由线性变换矩阵的定义得出的；因为 $A x_{j} = \sum_{k} α_{k j} x_{k}$ ，我们有 $[A x_{j}, y_{i}] = \sum_{k} α_{k j} [x_{k}, y_{i}] = α_{i j} .$ 为了在应用中保持清晰，我们用语言重新表述公式 (2)，即：要找到 $[A]$ 在基 $𝒳$ 下的 $(i, j)$ 元素，将 $A$ 作用于 $𝒳$ 的第 $j$ 个元素，然后取第 $i$ 个线性泛函（在中）在所得向量处的值。

现在很容易求出在坐标系下的矩阵；我们只需遵循刚才给出的步骤。换句话说，我们考虑，并取中的第 $i$ 个线性泛函（即，将 $x_{i}$ 视为上的线性泛函）在此向量处的值；结果是由于，从而有，这个矩阵被称为 $[A]$ 的转置。

观察到，我们关于 $E$ 和（其中 $E$ 是投影）之间关系的结论，也可以通过利用关于投影的矩阵表示的事实以及目前关于伴随变换矩阵的结论来推导得出。