变换的张量积

张量积运算的正式规则如下。除了最后两个关系外，所有这些关系的证明都是显而易见的。

公式 (7) 与所有涉及逆的公式一样，必须谨慎对待。它的意思是，如果 $A$ 和 $B$ 都是可逆的，那么 $A\otimes B$ 也是可逆的，且该等式成立；反之，如果 $A\otimes B$ 是可逆的，那么 $A$ 和 $B$ 也都是可逆的。我们将按相反的顺序证明 (7) 和 (8)。

公式 (8) 遵循张量积的刻画 (1) 以及以下计算：作为 (8) 的直接推论，我们得到  

为了证明 (7)，假设 $A$ 和 $B$ 是可逆的，并构造 $A\otimes B$ 和 $A^{-1}\otimes B^{-1}$ 。由于根据 (8)，这两个变换以任意顺序相乘的乘积都是 $1$ ，因此可以得出 $A\otimes B$ 是可逆的，且 (7) 成立。反之，假设 $A\otimes B$ 是可逆的。记住我们仅对有限维空间定义了张量积，我们可以引用 Section: 逆变换 定理 2；只需证明 $Ax=0$ 蕴含 $x=0$ 且 $By=0$ 蕴含 $y=0$ 即可。我们使用 (1)：$$Ax\otimes By=(A\otimes B)(x\otimes y).$$ 如果左侧的任一因子为零，则 $(A\otimes B)(x\otimes y)=0$ ，从而 $x\otimes y=0$ ，因此要么 $x=0$ 要么 $y=0$ 。由于（根据 (2)）$B=0$ 是不可能的，我们可以找到一个向量 $y$ 使得 $By\ne 0$ 。将上述论证应用于这个 $y$ ，以及任何使 $Ax=0$ 的 $x$ ，我们得出结论 $x=0$ 。将 $A$ 和 $B$ 的角色互换进行同样的论证，即可证明 $B$ 是可逆的。

变换的张量积理论中一个有趣（且复杂）的方面是矩阵的克罗内克积（Kronecker products）理论。设 $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ 和 $𝒴=\{y_1,\dots ,y_m\}$ 分别是 $𝒰$ 和 $𝒱$ 中的基，并设 $[A]=[A;𝒳]=({\alpha }_{ij})$ 和 $[B]=[B;𝒴]=({\beta }_{pq})$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的矩阵。在坐标系 $\{x_i\otimes y_p\}$ 中，$A\otimes B$ 的矩阵是什么？

为了回答这个问题，我们必须回顾 Section: 矩阵 中关于将基排列成线性顺序的讨论。遗憾的是，由于在不确定行和列的顺序的情况下无法写出矩阵，我们将坦率地面对这一点，并将这 $n$ 乘以 $m$ 个向量 $x_i\otimes y_p$ 按所谓的字典序排列如下：$$x_1\otimes y_1,\dots ,x_1\otimes y_m,x_2\otimes y_1,\dots ,x_2\otimes y_m,\dots ,x_n\otimes y_1,\dots ,x_n\otimes y_m.$$ 我们也继续进行以下计算：这个过程准确地指明了在不对基元素进行排序的情况下我们能走多远；例如，如果我们同意不使用一对整数而是使用一对“对”（例如 $(i,p)$ 和 $(j,q)$ ）来作为矩阵元素的索引，那么我们现在就知道在第 $(i,p)$ 行和第 $(j,q)$ 列的元素是 ${\alpha }_{ij}{\beta }_{pq}$ 。如果我们使用字典序，$A\otimes B$ 的矩阵具有以下形式 在意义明确的简写符号中，我们可以将该矩阵写为  

该矩阵被称为 $[A]$ 和 $[B]$ 按此顺序的克罗内克积。构造它的规则很容易用语言描述：将 $n$ 乘 $n$ 矩阵 $[A]$ 的每个元素 ${\alpha }_{ij}$ 替换为 $m$ 乘 $m$ 矩阵 ${\alpha }_{ij}[B]$ 。如果在这个规则中我们互换 $A$ 和 $B$ 的角色（从而互换 $n$ 和 $m$ ），我们便得到 $[B]$ 和 $[A]$ 的克罗内克积的定义。

练习