作为向量的变换

我们现在开始推导向量空间上线性变换的一些初等性质以及它们之间的关系。更具体地说，我们将指出几种由旧变换构造新变换的方法；我们通常只需给出新变换的定义，而省略其线性性质的证明。

如果 $A$ 和 $B$ 是线性变换，我们通过方程 $S x = A x + B x$ （对每个 $x$ ）来定义它们的和 $S = A + B$ 。我们注意到， $𝒱$ 中加法的交换律和结合律立即意味着线性变换的加法也是可交换和可结合的。不仅如此。如果我们考虑任意线性变换 $A$ 与线性变换 $0$ （在前一节中定义）的和，我们看到 $A + 0 = A$ 。如果对于每个 $A$ ，我们用 $- A$ 表示由 $(- A) x = - (A x)$ 定义的变换，我们看到 $A + (- A) = 0$ ，并且如此定义的变换 $- A$ 是唯一具有性质 $A + B = 0$ 的线性变换 $B$ 。总而言之：在向量空间一节的公理 (A) 中描述的向量空间的性质，再次出现在该空间上所有线性变换的集合中；所有线性变换的集合关于加法运算构成一个阿贝尔群。

我们继续秉承同样的精神。到目前为止，如果向量空间的公理 (B) 和 (C) 也被所有线性变换的集合所满足，大家应该不会感到惊讶。事实确实如此。对于任何 $A$ 和任何标量 $α$ ，我们通过方程 $(α A) x = α (A x)$ 定义乘积 $α A$ 。公理 (B) 和 (C) 立即得到验证；我们总结如下。

Theorem 1. 一个向量空间上所有线性变换的集合本身也是一个向量空间。

我们通常会忽略这个定理；原因是我们对线性变换可以有更多的论述，而它们构成一个向量空间这一简单事实极少被用到。我们可以说的“更多论述”是指，对于线性变换存在一个或多或少像样的乘法定义，我们将在下一节中讨论它。

练习

Exercise 1. 证明下面描述的每个对应关系都是一个线性变换。

$𝒱$ 是复数集 $ℂ$ ，被视为实向量空间； $A x$ 是 $x$ 的复共轭。
$𝒱$ 是 $𝒫$ ；如果 $x$ 是一个多项式，那么 $(A x) (t) = x (t + 1) - x (t)$ 。
$𝒱$ 是一个向量空间与自身的 $k$ 重张量积； $A$ 满足 $A (x_{1} \otimes \dots \otimes x_{k}) = x_{π (1)} \otimes \dots \otimes x_{π (k)},$ 其中 $π$ 是 ${1, \dots, k}$ 的一个置换。
$𝒱$ 是一个向量空间上所有 $k$ 重线性型的集合； $(A w) (x_{1}, \dots, x_{k}) = w (x_{π (1)} \dots, x_{π (k)}),$ 其中 $π$ 是 ${1, \dots, k}$ 的一个置换。
$𝒱$ 是一个向量空间上所有 $k$ 重线性型的集合；如果 $w$ 在 $𝒱$ 中，那么 $A w = \sum π w$ ，其中求和是对 $𝒮_{k}$ 中的所有置换 $π$ 进行的。
与 (e) 相同，除了 $A w = \sum (sgn π) π w$ 。

Exercise 2. 证明如果 $𝒱$ 是一个有限维向量空间，那么 $𝒱$ 上所有线性变换的空间也是有限维的，并求出它的维数。

Exercise 3. 本文中定义的“线性变换”概念在某些用途下过于特殊。根据更一般的定义，从向量空间 $𝒰$ 到同一数域上的向量空间 $𝒱$ 的线性变换是一个对应关系 $A$ ，它将 $𝒰$ 中的每个向量 $x$ 对应到 $𝒱$ 中的一个向量 $A x$ ，使得 $A (α x + β y) = α A x + β A y$ 证明下面描述的每个对应关系都是这种广义意义下的线性变换。

$𝒱$ 是 $𝒰$ 的标量域； $A$ 是 $𝒰$ 上的一个线性泛函。
$𝒰$ 是 $𝒱$ 与某个其他空间的直和； $A$ 将 $𝒰$ 中的每个对映射到其第一个坐标。
$𝒱$ 是 $𝒰$ 模一个子空间的商空间； $A$ 将 $𝒰$ 中的每个向量映射到它所确定的陪集。
设 $w$ 是直和 $𝒰 \oplus 𝒱_{0}$ 上的双线性泛函。设 $𝒱$ 是 $𝒱_{0}$ 的对偶空间，并定义 $A$ 为如下对应关系：它将 $𝒰$ 中的每个 $x_{0}$ 对应到 $𝒱_{0}$ 上的线性泛函，该线性泛函是通过将 $w$ 的第一个自变量设为 $x_{0}$ 而得到的。

Exercise 4.

假设 $𝒰$ 和 $𝒱$ 是同一数域上的向量空间。如果 $A$ 和 $B$ 是从 $𝒰$ 到 $𝒱$ 的线性变换，如果 $α$ 和 $β$ 是标量，并且如果对于 $𝒰$ 中的每个 $x$ ，有 $C x = α A x + β B x$ 那么 $C$ 是从 $𝒰$ 到 $𝒱$ 的线性变换。
如果我们根据定义写作 $C = α A + β B$ ，那么关于线性运算的这一定义，从 $𝒰$ 到 $𝒱$ 的所有线性变换的集合构成一个向量空间。
证明如果 $𝒰$ 和 $𝒱$ 是有限维的，那么从 $𝒰$ 到 $𝒱$ 的所有线性变换的空间也是有限维的，并求出它的维数。

Exercise 5. 假设 $ℳ$ 是 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 的一个 $m$ 维子空间。证明：在 $𝒱$ 上满足“只要 $x$ 在 $ℳ$ 中就有 $A x = 0$ ”的那些线性变换 $A$ 的集合，是 $𝒱$ 上所有线性变换集合的一个子空间，并求出该子空间的维数。