伴随

下面我们来研究线性变换与对偶空间概念之间的关系。设 $𝒱$ 为任意向量空间，设 $y$ 为 的任意元素；对于 $𝒱$ 上的任意线性变换 $A$ ，我们考虑表达式 $[Ax,y]$ 。对于每个固定的 $y$ ，由 定义的函数 是 $𝒱$ 上的线性泛函；对 和 $y$ 都使用方括号表示法，我们有 。如果现在我们允许 $y$ 在 上变化，那么这个过程使每个 $y$ 对应一个 ，这当然取决于 $y$ ；我们写作 。 的定义性质是 我们断言 是 上的线性变换。事实上，如果 $y={\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2$ ，那么 线性变换 称为 $A$ 的伴随（或对偶）变换；我们用本节和下一节来研究 的性质。我们首先来解决形式代数规则；它们如下所示。

这里的 (7) 应在以下意义上理解：如果 $A$ 是可逆的，那么 也是可逆的，且该等式成立。所有这些关系的证明都是初等的；为了说明这一过程，我们对 (6) 和 (7) 进行计算。为了证明 (6)，只需观察到 为了证明 (7)，假设 $A$ 是可逆的，从而有 $A{A}^{-1}=A^{-1}A=1$ 。将 (3) 和 (6) 应用于这些等式，我们得到 逆变换一节的定理 1 表明 是可逆的，且 (7) 成立。

在有限维空间中，另一个重要的关系成立： 对这个关系需要有所保留地理解。就其本身而言， 不是 $𝒱$ 上的变换，而是 的对偶空间 上的变换。然而，如果我们根据自然同构将 和 $𝒱$ 等同起来，那么 就作用在 $𝒱$ 上，从而 (8) 就有了意义。在这种解释下，(8) 的证明是平凡的。由于 $𝒱$ 是自反的，通过将 $[x,y]$ 视为 $y$ 的函数（其中 $x$ 固定在 $𝒱$ 中），我们便得到了 上的每一个线性泛函。由于 定义了 $y$ 的一个函数（一个线性泛函），它可以写成 的形式。这里的向量 根据定义就是 。因此，对于 中的每一个 $y$ 以及 $𝒱$ 中的每一个 $x$ ，我们有 该链中第一项和最后一项的相等性证明了 (8)。

在 (8) 的假设下（即有限维性），对 (7) 解释中的不对称性可以被消除；我们断言，在这种情况下， 的可逆性蕴含了 $A$ 的可逆性，从而 (7) 成立。证明：将 (7) 的旧解释应用于 和 ，以代替 $A$ 和 。

在自反有限维的情况下，我们的讨论可以总结为：映射 是从 $𝒱$ 上所有线性变换的集合到 上所有线性变换的集合上的双射，并且实际上是一个代数反同构。（之所以加上前缀“反”（anti），是因为交换规则 (6)。）