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两个线性变换 $A$ 和 $B$ 的 乘积 $P$ ，即 $P=AB$ ，由方程 $Px=A(Bx)$ 定义。

乘法的概念对于后续的所有内容都是至关重要的。在给出任何例子来阐明变换乘积的含义之前，让我们先观察一下符号 $P=AB$ 的含义。说 $P$ 是一个变换，当然意味着给定一个向量 $x$ ，$P$ 会对其进行某种操作。它所做的操作是通过先用 $B$ 作用于 $x$ ，即求出 $Bx$ ，然后用 $A$ 作用于该结果来确定的。换句话说，如果我们把变换的符号看作是执行某种行为的配方，那么两个变换乘积的符号应该从右向左阅读。按照 $AB$ 进行变换的顺序意味着先由 $B$ 进行变换，然后再由 $A$ 进行变换。这对于一个小问题来说似乎有些小题大做；然而，正如我们很快就会看到的，变换的乘法在一般情况下是不可交换的，我们进行变换的顺序会产生很大的不同。

最著名的不可交换性的例子存在于空间 $𝒫$ 上。我们考虑微分变换 $D$ 和乘法变换 $T$ ，它们分别定义为 $(Dx)(t)=\frac{dx}{dt}$ 和 $(Tx)(t)=tx(t)$ ；我们有 $$(DTx)(t)=\frac{d}{dt}(tx(t))=x(t)+t\frac{dx}{dt}$$ 以及 $$(TDx)(t)=t\frac{dx}{dt}.$$ 换句话说，不仅 $DT=TD$ 是错误的（从而 $DT-TD=0$ 也是错误的），而且事实上，对于每一个 $x$ 都有 $(DT-TD)x=x$ ，因此 $DT-TD=1$ 。

根据 线性变换一节 中的例子，读者应该能够构造出许多不可交换变换对的例子。例如，习惯于从几何角度思考线性变换的人可以很容易地让自己相信，${ℝ}^3$ 的两个旋转（绕原点）的乘积在一般情况下取决于它们执行的顺序。

数值乘法的大多数形式代数性质（除了已经提到的显著例外——交换律）在变换代数中都是成立的。因此我们有

所有这些恒等式的证明都是加法和乘法定义的直接推论；为了说明这一原理，我们证明分配律之一的 (3)。证明由以下计算组成：