不变性

向量空间的子空间 $ℳ$ 与该空间上的线性变换 $A$ 之间的一种可能关系是不变性。如果 $ℳ$ 中的 $x$ 蕴含 $Ax$ 也在 $ℳ$ 中，我们称 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的。（注意，这种蕴含关系仅要求单向成立；我们并不假设 $ℳ$ 中的每个 $y$ 都可以写成 $y=Ax$ 的形式，其中 $x$ 在 $ℳ$ 中；我们甚至不假设 $Ax$ 在 $ℳ$ 中蕴含 $x$ 在 $ℳ$ 中。稍后我们将看到一些例子，在这些例子中，我们未作假设的条件确实不成立。）我们知道向量空间的子空间本身也是一个向量空间；如果我们知道 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的，我们可以忽略 $A$ 在 $ℳ$ 之外有定义这一事实，而将 $A$ 视为定义在向量空间 $ℳ$ 上的线性变换。不变性不仅针对单个线性变换，也常常针对线性变换的集合来考虑；如果 $ℳ$ 在集合中的每个成员下都是不变的，那么它在该集合下就是不变的。

如果我们知道某个 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的，那么关于 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 上的线性变换 $A$ 的矩阵，我们可以得出什么结论？换句话说：是否存在一种巧妙的方法在 $𝒱$ 中选择一组基 $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ ，使得 $[A]=[A;𝒳]$ 具有某种特别简单的形式？答案在 章节：子空间的维数 的定理 2 中；我们可以选择 $𝒳$ 使得 $x_1,\dots ,x_m$ 在 $ℳ$ 中，而 $x_{m+1},\dots ,x_n$ 不在。让我们用 $x_1,\dots ,x_n$ 来表示 $A{x}_j$ 。对于 $m+1\le j\le n$ ，我们能说的并不多：$A{x}_j=\sum _i{\alpha }_{ij}{x}_i$ 。然而，对于 $1\le j\le m$ ，$x_j$ 在 $ℳ$ 中，因此（因为 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的）$A{x}_j$ 也在 $ℳ$ 中。因此，在这种情况下，$A{x}_j$ 是 $x_1,\dots ,x_m$ 的线性组合；当 $m+1\le i\le n$ 时的 ${\alpha }_{ij}$ 均为零。因此，在此坐标系下，$A$ 的矩阵 $[A]$ 将具有如下形式 其中 $[A_1]$ 是将 $A$ 视为空间 $ℳ$ 上的线性变换时（相对于坐标系 $\{x_1,\dots ,x_m\}$ ）的（$m$ 行）矩阵，$[A_2]$ 和 $[B_0]$ 是一些标量阵列（大小分别为 $(n-m)$ 乘 $(n-m)$ 和 $m$ 乘 $(n-m)$ ），且 $[0]$ 表示仅由零组成的矩形（$(n-m)$ 乘 $m$ ）阵列。（需要特别注意一个令人不快的事实，即 $[B_0]$ 不一定为零。）