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定义 1. 向量空间 $𝒱$ 中的一个（线性）基（或坐标系）是一个由线性无关向量组成的集合 $𝒳$ ，使得 $𝒱$ 中的每个向量都是 $𝒳$ 中元素的线性组合。如果一个向量空间 $𝒱$ 具有有限基，则称它是有限维的。

除了偶尔考虑一些例子外，在本书中，我们将把注意力限制在有限维向量空间上。

关于基的例子，我们再次转向空间 $𝒫$ 和 $ℂ^{n}$ 。在 $𝒫$ 中，集合 ${x_{n}}$ （其中 $x_{n} (t) = t^{n}$ ， $n = 0, 1, 2, \dots$ ）是一个基；根据定义，每个多项式都是有限个 $x_{n}$ 的线性组合。此外， $𝒫$ 没有有限基，因为给定任何有限的多项式集合，我们都可以找到一个次数比其中任何一个都高的多项式；后者显然不是前者们的线性组合。

在 $ℂ^{n}$ 中，基的一个例子是向量集合 $x_{i}$ （ $i = 1, \dots, n$ ），其定义条件是 $x_{i}$ 的第 $j$ 个坐标为 $δ_{i j}$ 。（这里我们首次使用著名的克罗内克（Kronecker） $δ$ ；它的定义是：如果 $i = j$ 则 $δ_{i j} = 1$ ，如果 $i \neq j$ 则 $δ_{i j} = 0$ 。）因此，我们断言在 $ℂ^{3}$ 中，向量 $x_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $x_{2} = (0, 1, 0)$ 和 $x_{3} = (0, 0, 1)$ 构成一个基。很容易看出它们是线性无关的；公式 $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) = ξ_{1} x_{1} + ξ_{2} x_{2} + ξ_{3} x_{3}$ 证明了 $ℂ^{3}$ 中的每个 $x$ 都是它们的线性组合。

在一般的有限维向量空间 $𝒱$ 中，设其基为 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ ，我们知道每个 $x$ 都可以写成如下形式： $x = \sum_{i} ξ_{i} x_{i};$ 我们断言，这些 $ξ$ 由 $x$ 唯一确定。这一断言的证明是线性相关性理论中经常使用的一种论证方法。如果我们有 $x = \sum_{i} η_{i} x_{i}$ ，那么通过相减，我们应该有 $\sum_{i} (ξ_{i} - η_{i}) x_{i} = 0.$ 由于 $x_{i}$ 是线性无关的，这意味着对于 $i = 1, \dots, n$ ，有 $ξ_{i} - η_{i} = 0$ ；换句话说， $ξ$ 与 $η$ 是相同的。（注意，在 $n = 0$ 的情况下，将具有 $n$ 个元素的基写为 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是不妥当的。然而，我们仍将频繁使用这种表示法。每当这样做时，原则上需要附加一个单独的讨论来涵盖向量空间 $𝒪$ 。但实际上，关于该空间的一切都是如此平凡，以至于细节不值得写下来，我们将予以省略。）

定理 1. 如果 $𝒱$ 是一个有限维向量空间，且 ${y_{1}, \dots, y_{m}}$ 是 $𝒱$ 中的任意线性无关向量集合，那么，除非这些 $y$ 已经构成一个基，否则我们可以找到向量 $y_{m + 1}, \dots, y_{m + p}$ ，使得全体 $y$ （即 ${y_{1}, \dots, y_{m}, y_{m + 1}, \dots, y_{m + p}}$ ）构成一个基。换句话说，每个线性无关集都可以扩充为一个基。

证明. 由于 $𝒱$ 是有限维的，它有一个有限基，设为 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 。我们按此顺序考虑向量集合 $𝒮$ ： $y_{1}, \dots, y_{m}, x_{1}, \dots, x_{n}$ ，并对该集合连续多次应用线性组合一节中的定理。首先，集合 $𝒮$ 是线性相关的，因为这些 $y$ （如同所有向量一样）是 $x$ 的线性组合。因此， $𝒮$ 中的某个向量是其前面向量的线性组合；设 $z$ 是第一个这样的向量。那么 $z$ 不同于任何 $y_{i}$ （ $i = 1, \dots, m$ ，因为这些 $y$ 是线性无关的），因此 $z$ 等于某个 $x$ ，设为 $z = x_{i}$ 。我们考虑新的向量集合： $y_{1}, \dots, y_{m}, x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n} .$ 我们注意到， $𝒱$ 中的每个向量都是中向量的线性组合，因为通过 $y_{1}, \dots, y_{m}, x_{1}, \dots, x_{i - 1}$ 我们可以表示出 $x_{i}$ ，然后通过 $x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{n}$ 我们可以表示出任何向量。（这些 $x$ 构成一个基。）如果是线性无关的，我们就完成了证明。如果不是，我们以同样的方式一次又一次地应用线性组合一节中的定理，直到我们得到一个包含 $y_{1}, \dots, y_{m}$ 的线性无关集，通过它我们可以表示出 $𝒱$ 中的每个向量。这最后一个集合就是包含这些 $y$ 的基。 ◻

练习

练习 1.

证明 $ℂ^{3}$ 中的四个向量构成一个线性相关集，但其中任意三个向量都是线性无关的。（要检验 $ℂ^{3}$ 中向量 $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}), y = (η_{1}, η_{2}, η_{3})$ 和 $z = (ζ_{1}, ζ_{2}, ζ_{2})$ 的线性相关性，步骤如下。假设可以找到 $α$ 、 $β$ 和 $γ$ 使得 $α x + β y + γ z = 0$ 。这意味着向量 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 线性相关，当且仅当 these equations have a solution other than $α = β = γ = 0$ 。）
如果 $𝒫$ 中的向量 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 和 $u$ 定义为 $x (t) = 1$ 、 $y (t) = t$ 、 $z (t) = t^{2}$ 和 $u (t) = 1 + t + t^{2}$ ，证明 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 和 $u$ 线性相关，但其中任意三个向量都是线性无关的。

练习 2. 证明如果将 $ℝ$ 视为有理数域上的向量空间（参见例子一节，(8)），那么 $ℝ$ 中的向量 $1$ 和 $ξ$ 线性无关的充分必要条件是实数 $ξ$ 为无理数。

练习 3. 如果 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 是线性无关的向量，那么 $x + y$ 、 $y + z$ 和 $z + x$ 是否也线性无关？

练习 4.

在标量 $ξ$ 满足什么条件时， $ℂ^{2}$ 中的向量 $(1 + ξ, 1 - ξ)$ 和 $(1 - ξ, 1 + ξ)$ 线性相关？
在标量 $ξ$ 满足什么条件时， $ℝ^{2}$ 中的向量 $(ξ, 1, 0)$ 、 $(1, ξ, 1)$ 和 $(0, 1, ξ)$ 线性相关？
对于 $ℚ^{3}$ （代替 $ℝ^{3}$ ），(b) 的答案是什么？

练习 5.

向量 $(ξ_{1}, ξ_{2})$ 和 $(η_{1}, η_{2})$ 在 $ℂ^{2}$ 中线性相关，当且仅当 $ξ_{1} η_{2} = ξ_{2} η_{1}$ 。
寻找 $ℂ^{2}$ 中两个向量线性相关的类似充要条件。对 $ℂ^{3}$ 中的三个向量做同样的事。
在 $ℂ^{2}$ 中是否存在一个由三个线性无关向量组成的集合？

练习 6.

在标量 $ξ$ 和 $η$ 满足什么条件时， $ℂ^{2}$ 中的向量 $(1, ξ)$ 和 $(1, η)$ 线性相关？
在标量 $ξ$ 、 $η$ 和 $ζ$ 满足什么条件时， $ℂ^{2}$ 中的向量 $(1, ξ, ξ^{2})$ 、 $(1, η, η^{2})$ 和 $(1, ζ, ζ^{2})$ 线性相关？
猜测并证明 (a) 和 (b) 推广到 $ℂ^{n}$ 的情形。

练习 7.

在 $ℂ^{4}$ 中寻找两个基，使得它们唯一的公共向量是 $(0, 0, 1, 1)$ 和 $(1, 1, 0, 0)$ 。
在 $ℂ^{4}$ 中寻找两个没有公共向量的基，使得其中一个包含向量 $(1, 0, 0, 0)$ 和 $(1, 1, 0, 0)$ ，而另一个包含向量 $(1, 1, 1, 0)$ 和 $(1, 1, 1, 1)$ 。

练习 8.

在标量 $ξ$ 满足什么条件时，向量 $(1, 1, 1)$ 和 $(1, ξ, ξ^{2})$ 构成 $ℂ^{3}$ 的一个基？
在标量 $ξ$ 满足什么条件时，向量 $(0, 1, ξ)$ 、 $(ξ, 0, 1)$ 和 $(ξ, 1, 1 + ξ)$ 构成 $ℂ^{3}$ 的一个基？

练习 9. 考虑 $ℂ^{2}$ 中所有每个坐标均为 $0$ 或 $1$ 的向量组成的集合；该集合包含多少个不同的基？

练习 10. 如果 $𝒳$ 是包含 $ℂ^{4}$ 中六个向量 $(1, 1, 0, 0)$ 、 $(1, 0, 1, 0)$ 、 $(1, 0, 0, 1)$ 、 $(0, 1, 1, 0)$ 、 $(0, 1, 0, 1)$ 、 $(0, 0, 1, 1)$ 的集合，求 $𝒳$ 的两个不同的极大线性无关子集。（ $𝒳$ 的极大线性无关子集是指 $𝒳$ 的一个线性无关子集 $𝒴$ ，使得每当将一个不在 $𝒴$ 中的 $𝒳$ 向量并入 $𝒴$ 时，它都会变成线性相关的。）

练习 11. 证明每个向量空间都有一个基。（对于不熟悉超限技巧（如良序定理或佐恩引理）的人来说，这个事实的证明是无法企及的。）