领域

在下文中，我们将有机会使用各种数类（例如所有实数的类或所有复数的类）。因为在这个早期阶段，我们不应该局限于任何特定的类，所以我们将采用一种权宜之计，将数称为标量。如果读者始终将标量解释为实数或复数，将不会失去任何实质性的东西；在我们即将研究的例子中，这两类数都会出现。具体来说（也是为了在适当的普遍性水平上进行讨论），我们接下来列出我们需要假设的关于标量的所有一般事实。

(A) 对于每一对标量 $α$ 和 $β$ ，都对应一个标量 $α + β$ ，称为 $α$ 和 $β$ 的和，使得

加法满足交换律， $α + β = β + α$ ，
加法满足结合律， $α + (β + γ) = (α + β) + γ$ ，
存在唯一一个标量 $0$ （称为零），使得对于每一个标量 $α$ ，都有 $α + 0 = α$ ，以及
对于每一个标量 $α$ ，都对应唯一一个标量 $- α$ ，使得 $α + (- α) = 0$ 。

(B) 对于每一对标量 $α$ 和 $β$ ，都对应一个标量 $α β$ ，称为 $α$ 和 $β$ 的积，使得

乘法满足交换律， $α β = β α$ ，
乘法满足结合律， $α (β γ) = (α β) γ$ ，
存在唯一一个非零标量 $1$ （称为一），使得对于每一个标量 $α$ ，都有 $α 1 = α$ ，以及
对于每一个非零标量 $α$ ，都对应唯一一个标量 $α^{- 1}$ （或 $\frac{1}{α}$ ），使得 $α α^{- 1} = 1$ 。

(C) 乘法对加法满足分配律， $α (β + γ)$ $= α β + α γ$ 。

如果在某个对象（标量）集合中定义了加法和乘法，使得条件 (A) 、(B) 和 (C) 得到满足，那么该集合（连同给定的运算）就称为一个域。因此，例如，所有有理数的集合 $ℚ$ （具有通常的和与积的定义）是一个域，所有实数的集合 $ℝ$ 和所有复数的集合 $ℂ$ 也是如此。

练习

练习 1. 初等算术的所有规律几乎都是定义域的公理的推论。特别地，证明如果 $𝔽$ 是一个域，且 $α, β$ 和 $γ$ 属于 $𝔽$ ，则下列关系成立。

$0 + α = α$ 。
如果 $α + β = α + γ$ ，则 $β = γ$ 。
$α + (β - α) = β$ 。（这里 $β - α = β + (- α)$ 。）
$α \cdot 0 = 0 \cdot α = 0$ 。（为了清晰或强调，我们有时用圆点表示乘法。）
$(- 1) α = - α$ 。
$(- α) (- β) = α β$ 。
如果 $α β = 0$ ，则要么 $α = 0$ ，要么 $β = 0$ （或两者皆然）。

练习 2.

所有正整数的集合是一个域吗？（在熟悉的系统（如整数）中，我们几乎总是使用普通的加法和乘法运算。在极少数背离这一惯例的情况下，我们会给出充分的警告。至于“正”这个词，在本书此处及其他地方，我们的意思是“大于或等于零”。如果要排除 $0$ ，我们会说“严格为正”。）
那么所有整数的集合呢？
通过重新定义加法或乘法（或两者），能否改变这些问题的答案？

练习 3. 设 $m$ 为一个整数， $m \geq 2$ ，并设 $ℤ_{m}$ 为所有小于 $m$ 的正整数的集合， $ℤ_{m} = {0, 1, \dots, m - 1}$ 。如果 $α$ 和 $β$ 在 $ℤ_{m}$ 中，设 $α + β$ 为将 $α$ 和 $β$ 的（普通）和除以 $m$ 所得的最小正余数，类似地，设 $α β$ 为将 $α$ 和 $β$ 的（普通）积除以 $m$ 所得的最小正余数。（例如：如果 $m = 12$ ，则 $3 + 11 = 2$ 且 $3 \cdot 11 = 9$ 。）

证明 $ℤ_{m}$ 是一个域当且仅当 $m$ 是一个素数。
在 $ℤ_{5}$ 中， $- 1$ 是什么？
在 $ℤ_{7}$ 中， $\frac{1}{3}$ 是什么？

练习 4。 $ℤ_{p}$ （其中 $p$ 是素数）的例子表明，并非所有初等算术规律在域中都成立；例如，在 $ℤ_{2}$ 中， $1 + 1 = 0$ 。证明：如果 $𝔽$ 是一个域，那么要么将 $1$ 重复自加的结果总是不同于 $0$ ，要么其第一次等于 $0$ 时相加项的个数是一个素数。（在第一种情况下，域 $𝔽$ 的特征被定义为 $0$ ，在第二种情况下则被定义为该关键素数。）

练习 5。设 $ℚ (\sqrt{2})$ 是所有形如 $α + β \sqrt{2}$ 的实数组成的集合，其中 $α$ 和 $β$ 是有理数。

$ℚ (\sqrt{2})$ 是一个域吗？
如果要求 $α$ 和 $β$ 是整数呢？

练习 6。

所有整系数多项式组成的集合是否构成一个域？
如果允许系数是实数呢？

练习 7。设 $𝔽$ 是所有实数（有序）对 $(α, β)$ 的集合。

如果加法和乘法定义为 $(α, β) + (γ, δ) = (α + γ, β + δ)$ 和 $(α, β) (γ, δ) = (α γ, β δ)$ 那么 $𝔽$ 会成为一个域吗？
如果加法和乘法定义为 $(α, β) + (γ, δ) = (α + γ, β + δ)$ 和 $(α, β) (γ, δ) = (α γ - β δ, α δ + β γ)$ 那么此时 $𝔽$ 是一个域吗？
如果我们改为考虑复数有序对，（在上述两种情况下）会发生什么？