维度

定理 1. 有限维向量空间 $𝒱$ 的任何基中元素的个数都与任何其他基中的元素个数相同。

证明. 本定理的证明是对章节：线性组合中所用方法的一个微调，顺便提一句，它证明了比定理所述更多的结论。设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 和 $𝒴 = {y_{1}, \dots, y_{m}}$ 是两个有限向量集，每个集合都具有基的两个定义属性之一；也就是说，我们假设 $𝒱$ 中的每个向量都是 $x$ 的线性组合（但不假设 $x$ 是线性无关的），并且我们假设 $y$ 是线性无关的（但不假设每个向量都是它们的线性组合）。我们可以像上面一样，将章节：线性组合的定理应用于向量集 $𝒮$ $y_{m}, x_{1}, \dots, x_{n}$ 我们再次知道，每个向量都是 $𝒮$ 中向量的线性组合，且 $𝒮$ 是线性相关的。正如之前那样推理，我们得到一个向量集 $y_{m}, x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_{n}$ 它同样具有每个向量都是中向量的线性组合这一性质。现在我们将 $y_{m - 1}$ 写在的向量前面，并应用相同的论证。继续以此类推，我们看到 $x$ 不会在 $y$ 之前被耗尽，因为否则剩余的 $y$ 将不得不已是并入 $𝒮$ 中的那些向量的线性组合，而我们知道 $y$ 是线性无关的。换句话说，在应用该论证 $m$ 次之后，我们得到了一个具有与 $x$ 相同性质的集合，且该集合与 $x$ 的集合的不同之处在于其中有 $m$ 个被 $y$ 替换了。这个看似寻常的陈述正是我们所追求的；它意味着 $n \geq m$ 。因此，如果 $𝒳$ 和 $𝒴$ 都是基（从而它们各自都具有这两种性质），那么 $n \geq m$ 且 $m \geq n$ 。 ◻

定义 1. 有限维向量空间 $𝒱$ 的维数是 $𝒱$ 的基中元素的个数。

观察到，由于空向量集是平凡空间 $𝒪$ 的基，该定义意味着该空间的维数为 $0$ 。同时，该定义（结合我们已经在章节：基中展示了 $ℂ^{n}$ 的一个特定基这一事实）终于证明了我们术语的合理性，并使我们能够宣布这一令人愉快的结果： $n$ 维坐标空间是 $n$ 维的。（由于对于 $ℝ^{n}$ 和 $ℂ^{n}$ 的论证是相同的，因此该断言在实数情况和复数情况中均成立。）

我们的下一个结果是定理 1 的推论（通过章节：基的定理）。

定理 2. 在 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 中，任何包含 $n + 1$ 个向量的集合都是线性相关的。 $𝒱$ 中的一个包含 $n$ 个向量的集合是基，当且仅当它是线性无关的，或者等价地，当且仅当 $𝒱$ 中的每个向量都是该集合中元素的线性组合。