线性相关

现在我们已经描述了我们将要研究的空间，我们必须具体说明这些空间中我们所感兴趣的元素之间的关系。

我们首先对求和符号做一些说明。如果对应于一组指标 $i$ 中的每一个，都给出了一个向量 $x_{i}$ ，并且如果不需要或不方便精确地指定该指标集，我们将简单地称其为向量集 ${x_{i}}$ 。（我们承认同一个向量可能对应于两个不同的指标。因此，老实说，应该指出，重要的不是哪些向量出现在 ${x_{i}}$ 中，而是它们是如何出现的。）如果所考虑的指标集是有限的，我们将用 $\sum_{i} x_{i}$ （或者在需要时，用更明确的符号，例如 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ）来表示相应向量的和。为了避免频繁且繁琐的情况讨论，在一般理论中引入诸如 $\sum_{i} x_{i}$ 这样的和是一个好主意，即使没有指标 $i$ 需要对其求和，或者更准确地说，即使所考虑的指标集是空的。（在这种情况下，当然没有向量可以求和，或者更准确地说，集合 ${x_{i}}$ 也是空的。）自然地，这种“空和”的值被定义为向量 $0$ 。

Definition 1. 一个有限向量集 ${x_{i}}$ 是线性相关的，如果存在一组不全为零的相应标量集 ${α_{i}}$ ，使得 $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$

另一方面，如果 $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ 蕴含对每个 $i$ 都有 $α_{i} = 0$ ，则该集合 ${x_{i}}$ 是线性无关的。

该定义的措辞旨在涵盖空集的情况；在这种情况下得到的结果虽然可能看似矛盾，但与理论的其余部分非常完美地吻合。其结果是，空向量集是线性无关的。事实上，如果没有指标 $i$ ，那么就不可能从中挑选出一些指标，并为选定的指标分配一个非零标量，从而使某个和式消失。困难不在于避免分配零，而在于寻找一个可以分配数值的指标。请注意，这一论证表明空集不是线性相关的；对于不熟悉“空真蕴含”论证的读者来说，线性无关的定义与线性相关定义的直接否定之间的等价性，还需要一点额外的直观解释。在没有指标 $i$ 的情况下，要对断言“ $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ 蕴含对每个 $i$ 都有 $α_{i} = 0$ ”感到自然，最简单的方法是将其重新表述为：“如果 $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0$ ，那么不存在指标 $i$ 使得 $α_{i} \neq 0$ 。”如果根本没有指标 $i$ ，这个版本显然是正确的。

线性相关和线性无关是向量集的性质；然而，习惯上也会将这些形容词应用于向量本身，因此我们有时会说“一组线性无关的向量”，而不是“一个线性无关的向量集”。同样，谈论一个不一定是有限的向量集 $𝒳$ 的线性相关性和线性无关性也是很方便的。如果 $𝒳$ 的每个有限子集都是线性无关的，我们就说 $𝒳$ 是线性无关的；否则， $𝒳$ 就是线性相关的。

为了深入理解线性相关的含义，让我们研究一下我们已经拥有的向量空间的例子。

Example 1. 如果 $x$ 和 $y$ 是 $ℂ^{1}$ 中的任意两个向量，那么 $x$ 和 $y$ 构成一个线性相关集。如果 $x = y = 0$ ，这是显然的；如果不是，那么我们有，例如，关系式 $y x + (- x) y = 0$ 。由于显然每个包含线性相关子集的集合本身也是线性相关的，这表明在 $ℂ^{1}$ 中，每个包含多于一个元素的集合都是线性相关集。

Example 2. 更令人感兴趣的是空间 $𝒫$ 中的情况。例如，由定义的向量 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 是线性相关的，因为 $x + y - z = 0$ 。然而，由 $x_{0} (t) = 1, x_{1} (t) = t, x_{2} (t) = t^{2}, \dots$ 定义的无限向量集 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots$ 是一个线性无关集，因为如果我们有任何形如 $α_{0} x_{0} + α_{1} x_{1} + \dots + α_{n} x_{n} = 0,$ 的关系式，那么我们就应该有一个多项式恒等式 $α_{0} + α_{1} t + \dots + α_{n} t^{n} = 0,$ 由此得出 $α_{0} = α_{1} = \dots = α_{n} = 0.$

Example 3. 正如我们之前提到的，空间 $ℂ^{n}$ 是我们想要研究的对象原型；例如，让我们考察 $n = 3$ 的情况。对于熟悉高维几何的人来说，该空间（或者更确切地说，在其对应的实空间 $ℝ^{3}$ 中）中线性相关的概念具有具体的几何意义，我们在此仅作提及。用几何语言来说，两个向量线性相关当且仅当它们与原点共线，三个向量线性相关当且仅当它们与原点共面。（如果人们不把向量看作空间中的一个点，而是看作从原点指向某个给定点的箭头，那么前一句话应该修改，删去两次出现的“与原点”这一短语。）我们稍后将引入向量空间中线性流形（或向量子空间）的概念，并且在这一联系中，我们偶尔会使用这种几何考量所启发的语言。