示例

在讨论公理的推论之前，我们先给出一些例子。我们将反复引用这些例子，并且在接下来的整个工作中使用这里确立的记号。

例 1. 设 $ℂ^{1}$ （ $= ℂ$ ）是所有复数的集合；如果我们把 $x + y$ 和 $α x$ 理解为普通的复数加法和乘法，那么 $ℂ^{1}$ 就成为一个复向量空间。

例 2. 设 $𝒫$ 是关于变量 $t$ 的、具有复系数的所有多项式的集合。为了使 $𝒫$ 成为一个复向量空间，我们将向量加法和标量乘法理解为两个多项式的普通加法以及一个多项式与一个复数的乘法； $𝒫$ 中的原点是恒等于零的多项式。

例子 (1) 太过简单，而例子 (2) 又太过复杂，都不足以代表本书的主要内容。现在我们给出复向量空间的另一个例子，（正如我们稍后将看到的）它对于我们所有的目的来说都足够一般。

例 3. 设 $ℂ^{n}$ ， $n = 1, 2, \dots$ ，是所有复数 $n$ 元组的集合。如果 $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 和 $y = (η_{1}, \dots, η_{n})$ 是 $ℂ^{n}$ 的元素，根据定义，我们写成很容易验证，我们公理 (A) 、(B) 和 (C) （见 Section: Vector spaces ）的所有部分都得到满足，因此 $ℂ^{n}$ 是一个复向量空间；它将被称作 $𝐧$ 维复坐标空间。

例 4. 对于每个正整数 $n$ ，设 $𝒫_{n}$ 是次数 $\leq n - 1$ 的所有多项式（如例子 (2) 中具有复系数）与恒等于零的多项式组成的集合。（在通常关于次数的讨论中，该多项式的次数是没有定义的，因此我们不能说它的次数 $\leq n - 1$ 。）对于线性运算（加法和标量乘法）采用与 (2) 中相同的理解， $𝒫_{n}$ 是一个复向量空间。

例 5. 与 $ℂ^{n}$ 密切相关的是所有实数 $n$ 元组的集合 $ℝ^{n}$ 。除了现在我们只考虑实标量 $α$ 之外，采用与 $ℂ^{n}$ 相同的加法和标量乘法的形式定义，空间 $ℝ^{n}$ 是一个实向量空间；它将被称作 $𝐧$ 维实坐标空间。

例 6. 前面所有的例子都可以推广。例如，(1) 的一个显而易见的推广可以描述为：每个域都可以看作是其自身上的向量空间。(3) 和 (5) 的一个共同推广是从任意域 $𝔽$ 开始，并构成 $𝔽$ 中元素的 $n$ 元组集合 $𝔽^{n}$ ；线性运算的形式定义与 $𝔽 = ℂ$ 的情况相同。

例 7. 根据定义，一个域至少有两个元素；然而，一个向量空间可能只有一个元素。由于每个向量空间都包含一个原点，因此本质上（即除记号外）只有一个仅含一个向量的向量空间。这个最平凡的向量空间将用 $𝒪$ 表示。

例 8. 如果在所有实数的集合 $ℝ$ 中，加法按通常方式定义，实数与有理数的乘法也按通常方式定义，那么 $ℝ$ 就成为一个有理向量空间。

例 9. 如果在所有复数的集合 $ℂ$ 中，加法按通常方式定义，复数与实数的乘法也按通常方式定义，那么 $ℂ$ 就成为一个实向量空间。（将此例与 (1) 进行比较；它们是完全不同的。）