直和

我们将研究几种由旧向量空间构建新向量空间的重要通用方法；在本节中，我们首先研究最简单的一种。

Definition 1. 如果 𝒰 和 𝒱 是（同一数域上的）向量空间，它们的 direct sum 是向量空间 𝒲 （记作 𝒰 ⊕ 𝒱 ），其元素是所有形如 ⟨ x , y ⟩ 的有序对，其中 x 在 𝒰 中， y 在 𝒱 中，其线性运算定义为 α 1 ⟨ x 1 , y 1 ⟩ + α 2 ⟨ x 2 , y 2 ⟩ = ⟨ α 1 x 1 + α 2 x 2 , α 1 y 1 + α 2 y 2 ⟩ .  

我们注意到，直和的构成类似于从两个坐标轴构建平面的方式。

我们接下来研究这一概念与我们之前一些概念之间的关系。

所有形如 ⟨ x , 0 ⟩ 的向量（在 𝒲 中）组成的集合是 𝒲 的一个子空间；对应关系 ⟨ x , 0 ⟩ ⇄ x 表明该子空间同构于 𝒰 。为了方便起见，我们再次容许一种逻辑上的不精确，将 x 与 ⟨ x , 0 ⟩ 等同起来，并将 𝒰 称为 𝒲 的一个子空间。当然，类似地， 𝒱 中的向量 y 可以与 𝒲 中形如 ⟨ 0 , y ⟩ 的向量等同起来，我们可以将 𝒱 视为 𝒲 的一个子空间。诚然，这种术语并不十分精确，但这里的逻辑困难比在第二对偶空间的情况下要容易克服得多。我们本可以将 𝒰 和 𝒱 的直和（至少在 𝒰 和 𝒱 没有共同的非零向量的情况下）定义为由 𝒰 中所有的 x 、 𝒱 中所有的 y 以及所有满足 x ≠ 0 且 y ≠ 0 的有序对 ⟨ x , y ⟩ 组成的集合。这个定义所产生的理论在每个细节上都与我们将要发展的理论类似，但由于它需要进行分类讨论，这给定理的证明带来了麻烦。然而，显而易见的是，从这个定义的角度来看， 𝒰 实际上是 𝒰 ⊕ 𝒱 的一个子集。那么，在这个意义上，或者在我们确实采用的定义的同构意义上，我们提出这样一个问题：当我们把这些空间视为大空间 𝒲 的子空间时， 𝒰 和 𝒱 之间的关系是什么？

Theorem 1. 如果 𝒰 和 𝒱 是向量空间 𝒲 的子空间，则以下三个条件是等价的。

  1. 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 .
  2. 𝒰 ∩ 𝒱 = 𝒪 且 𝒰 + 𝒱 = 𝒲 （即 𝒰 和 𝒱 互为补空间）。
  3. 𝒲 中的每个向量 z 都可以唯一地写成 z = x + y 的形式，其中 x 在 𝒰 中， y 在 𝒱 中。

Proof. 我们将证明蕴涵关系 (1) ⟹ (2) ⟹ (3) ⟹ (1)。

(1) ⟹ (2)。我们假设 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 。如果 z = ⟨ x , y ⟩ 同时属于 𝒰 和 𝒱 ，那么 x = y = 0 ，从而 z = 0 ；这证明了 𝒰 ∩ 𝒱 = 𝒪 。由于表示式 z = ⟨ x , 0 ⟩ + ⟨ 0 , y ⟩ 对每个 z 都成立，因此也推得 𝒰 + 𝒱 = 𝒲 。

(2) ⟹ (3)。如果我们假设 (2)，从而特别地有 𝒰 + 𝒱 = 𝒲 ，那么显然 𝒲 中的每个 z 都具有所需的表示形式 z = x + y 。为了证明唯一性，我们假设 z = x 1 + y 1 且 z = x 2 + y 2 ，其中 x 1 和 x 2 在 𝒰 中， y 1 和 y 2 在 𝒱 中。由于 x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ，由此可得 x 1 − x 2 = y 2 − y 1 。因为这最后一个等式的左端在 𝒰 中，右端在 𝒱 中，而 𝒰 和 𝒱 是不相交的，这意味着 x 1 = x 2 且 y 1 = y 2 。

(3) ⟹ (1)。这一蕴涵关系实际上与直和的定义没有什么区别。如果我们构造直和 𝒰 ⊕ 𝒱 ，然后将 ⟨ x , 0 ⟩ 和 ⟨ 0 , y ⟩ 分别等同于 x 和 y ，那么我们必须将和 ⟨ x , y ⟩ = ⟨ x , 0 ⟩ + ⟨ 0 , y ⟩ 等同于我们所假设的 𝒲 的一般元素 z = x + y ；根据 z 写成 x + y 形式的表示是唯一的这一假设，我们得出结论： ⟨ x , 0 ⟩ 与 x 之间（以及 ⟨ 0 , y ⟩ 与 y 之间）的对应关系是一一对应的。 ◻

如果向量空间 𝒲 中的两个子空间 𝒰 和 𝒱 不相交且张成 𝒲 （也就是说，如果它们满足 (2)），通常称 𝒲 是 𝒰 和 𝒱 的 internal direct sum ；在符号上，和以前一样记作 𝒲 = 𝒰 ⊕ 𝒱 。如果我们想强调这个概念与之前定义的概念之间的区别，我们可以通过说 𝒲 是 𝒰 和 𝒱 的 external direct sum 来描述前者。鉴于上面讨论的自然同构，特别是鉴于前一个定理，这种区别与其说是概念上的，不如说是学究式的。按照我们的等同约定，我们通常会忽略它。