对偶空间

定义 1. 向量空间 $𝒱$ 上的线性泛函是一个定义在每个向量 $x$ 上的标量值函数 $y$ ，它具有如下性质（对于向量 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 以及标量 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 恒成立）： $y (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2}) = α_{1} y (x_{1}) + α_{2} y (x_{2})$

让我们来看一些线性泛函的例子。

例 1. 对于 $ℂ^{n}$ 中的 $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ ，令 $y (x) = ξ_{1}$ 。更一般地，设 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 为任意 $n$ 个标量，并令 $y (x) = α_{1} ξ_{1} + \dots + α_{n} ξ_{n} .$

我们注意到，对于任意向量空间上的任意线性泛函 $y$ ，有 $y (0) = y (0 \cdot 0) = 0 \cdot y (0) = 0;$ 因此，按照我们的定义，线性泛函有时也被称为齐次的。特别地，在 $ℂ^{n}$ 中，如果 $y$ 定义为 $y (x) = α_{1} ξ_{1} + \dots + α_{n} ξ_{n} + β$ 那么除非 $β = 0$ ，否则 $y$ 不是线性泛函。

例 2. 对于 $𝒫$ 中的任意多项式 $x$ ，令 $y (x) = x (0)$ 。更一般地，设 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 为任意 $n$ 个标量， $t_{1}, \dots, t_{n}$ 为任意 $n$ 个实数，并令 $y (x) = α_{1} x (t_{1}) + \dots + α_{n} x (t_{n}) .$

另一个例子（在某种意义上是刚才所给例子的极限情况）可以通过如下方式得到。设 $(a, b)$ 为实数 $t$ 轴上的任意有限区间，并设 $α$ 为定义在 $(a, b)$ 上的任意复值可积函数；通过下式定义 $y$ ： $y (x) = \int_{a}^{b} α (t) x (t) d t$

例 3. 在任意向量空间 $𝒱$ 上，通过对 $𝒱$ 中的每个 $x$ 令 $y (x) = 0$ 来定义 $y$ 。

最后一个例子是更一般情况的初步启示。设 $𝒱$ 为任意向量空间，并设为 $𝒱$ 上所有线性泛函的集合。让我们用 $0$ 表示在 (3) 中定义的线性泛函（对比章节：评注末尾的评注）。如果 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是 $𝒱$ 上的线性泛函，且 $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 是标量，让我们用 $y$ 表示由下式定义的函数：

$y (x) = α_{1} y_{1} (x) + α_{2} y_{2} (x) .$

易知 $y$ 是一个线性泛函；我们将其记为 $α_{1} y_{1} + α_{2} y_{2}$ 。通过这些线性概念（零、加法、标量乘法）的定义，集合构成一个向量空间，即 $𝒱$ 的对偶空间。