子空间演算

定理 1。任意子空间族的交集仍是子空间。

证明。如果我们使用指标 ν 来区分该族中的成员，从而使给定的子空间为 ℳ ν ，我们可以写成 ℳ = ⋂ ν ℳ ν . 由于每个 ℳ ν 都包含 0 ，因此 ℳ 也包含，从而 ℳ 非空。如果 x 和 y 属于 ℳ （即属于所有的 ℳ ν ），那么 α x + β y 属于所有的 ℳ ν ，因此 ℳ 是一个子空间。 ◻

为了看这个定理的一个应用，假设 𝒮 是向量空间 𝒱 中的任意向量集合（不一定是子空间）。显然存在包含 𝒮 的每个元素的子空间 ℳ （即满足 𝒮 ⊂ ℳ ）；例如，整个空间 𝒱 就是这样一个子空间。设 ℳ 是所有包含 𝒮 的子空间的交集；显然， ℳ 本身也是一个包含 𝒮 的子空间。此外，显然 ℳ 是最小的此类子空间；如果 𝒮 也包含在子空间 𝒩 中，即 𝒮 ⊂ 𝒩 ，那么 ℳ ⊂ 𝒩 。如此定义的子空间 ℳ 称为由 𝒮 生成的子空间，或 𝒮 的生成。以下结果建立了生成的概念与第 5–9 节中所研究概念之间的联系。

定理 2。如果 𝒮 是向量空间 𝒱 中的任意向量集合，且 ℳ 是由 𝒮 生成的子空间，那么 ℳ 与 𝒮 中元素的全体线性组合构成的集合相同。

证明。显然， 𝒮 中元素的线性组合的线性组合可以再次写成 𝒮 中元素的线性组合。因此， 𝒮 中元素的全体线性组合构成的集合是一个包含 𝒮 的子空间；由此可知，该子空间也必须包含 ℳ 。现在反过来讨论： ℳ 包含 ℳ 且是一个子空间；因此 ℳ 包含 𝒮 中元素的所有线性组合。 ◻

因此我们看到，用我们的新术语，我们可以将线性基定义为生成整个空间的线性无关向量集。

我们的下一个结果是定理 2 的一个直接推论；其证明可以放心地留给读者。

定理 3。如果 ℋ 和 𝒦 是任意两个子空间，且 ℳ 是由 ℋ 和 𝒦 共同生成的子空间，那么 ℳ 与所有形如 x + y 的向量构成的集合相同，其中 x 在 ℋ 中， y 在 𝒦 中。

受该定理的启发，我们将使用记号 ℋ + 𝒦 来表示由 ℋ 和 𝒦 生成的子空间 ℳ 。如果 ℋ ∩ 𝒦 = 𝒪 且 ℋ + 𝒦 = 𝒱 ，我们称向量空间 𝒱 的子空间 𝒦 是子空间 ℋ 的补空间。