商空间

我们已经知道，如果 $ℳ$ 是向量空间 $𝒱$ 的一个子空间，那么在 $𝒱$ 中通常存在许多其他子空间 $𝒩$ 使得 $ℳ\oplus 𝒩=𝒱$ 。在 $ℳ$ 的众多补空间中，并没有一种自然的方法来选择其中一个。然而，存在一种自然的构造方法，可以将 $ℳ$ 和 $𝒱$ 与一个新的向量空间联系起来，在所有实际用途中，这个新空间都起到了 $ℳ$ 的补空间的作用。这种构造相比于形成任意补空间的理论优势，恰恰在于其“自然”的特性，即它不依赖于基的选择，或者说，根本不依赖于任何选择。

为了理解这种构造，最好在脑海中保留一幅图像。例如，假设 $𝒱={ℝ}^2$ （实坐标平面），且 $ℳ$ 由所有满足 ${\xi }_2=0$ 的向量 $({\xi }_1,{\xi }_2)$ 组成（即水平轴）。$ℳ$ 的每个补空间都是一条穿过原点的直线（水平轴除外）。观察到，每一个这样的补空间都具有这样一个性质：它与每条水平线都恰好相交于一点。我们将要描述的构造思想，就是用所有水平线的集合来构建一个向量空间。

我们首先利用 $ℳ$ 来选出 $𝒱$ 的某些子集。（我们现在回到了普遍情况。）如果 $x$ 是 $𝒱$ 中的任意向量，我们用 $x+ℳ$ 表示所有形如 $x+y$ 的和的集合，其中 $y$ 在 $ℳ$ 中；每个形如 $x+ℳ$ 的集合称为 $ℳ$ 的一个 陪集 。（在上述平面-直线例子中，陪集就是那些水平线。）注意，同一个陪集可以由两个不同的向量产生，即，即使 $x\ne y$ ，也有可能 $x+ℳ=y+ℳ$ 。同样地，在不指定 $\mathscr{H}$ 来自哪个（或哪些）元素的情况下，谈论 $ℳ$ 的陪集（例如 $\mathscr{H}$ ）是非常有意义的；说 $\mathscr{H}$ 是（$ℳ$ 的）一个陪集，仅仅意味着至少存在一个 $x$ 使得 $\mathscr{H}=x+ℳ$ 。

如果 $\mathscr{H}$ 和 $𝒦$ 是（$ℳ$ 的）陪集，我们用 $\mathscr{H}+𝒦$ 表示所有形如 $u+v$ 的和的集合，其中 $u$ 在 $\mathscr{H}$ 中，$v$ 在 $𝒦$ 中；我们断言 $\mathscr{H}+𝒦$ 也是 $ℳ$ 的一个陪集。事实上，如果 $\mathscr{H}=x+ℳ$ 且 $𝒦=y+ℳ$ ，那么 $\mathscr{H}+𝒦$ 中的每个元素都属于陪集 $(x+y)+ℳ$ （注意 $ℳ+ℳ=ℳ$ ），反之，$(x+y)+ℳ$ 中的每个元素也都在 $\mathscr{H}+𝒦$ 中。（例如，如果 $z$ 在 $ℳ$ 中，那么 $(x+y)+z=(x+z)+(y+0)$ 。）换句话说， $\mathscr{H}+𝒦=(x+y)+ℳ$ ，因此 $\mathscr{H}+𝒦$ 是一个陪集，正如所断言的那样。我们把验证陪集加法满足交换律和结合律留给读者。陪集 $ℳ$ （即 $0+ℳ$ ）满足对每个陪集 $\mathscr{H}$ 都有 $\mathscr{H}+ℳ=\mathscr{H}$ ，而且它是唯一具有该性质的陪集。（如果 $(x+ℳ)+(y+ℳ)=x+ℳ$ ，那么 $x+ℳ$ 包含 $x+y$ ，从而对于 $ℳ$ 中的某个 $u$ 有 $x+y=x+u$ ；这意味着 $y$ 在 $ℳ$ 中，因此 $y+ℳ=ℳ$ 。）如果 $\mathscr{H}$ 是一个陪集，那么由所有形如 $-u$ 的向量（其中 $u$ 在 $\mathscr{H}$ 中）组成的集合本身也是一个陪集，我们将其记为 $-\mathscr{H}$ 。陪集 $-\mathscr{H}$ 满足 $\mathscr{H}+(-\mathscr{H})=ℳ$ ，而且 $-\mathscr{H}$ 是唯一具有该性质的陪集。总而言之：陪集的加法满足 向量空间一节 中的公理 (A) 。

如果 $\mathscr{H}$ 是一个陪集，且 $\alpha$ 是一个标量，当 $\alpha \ne 0$ 时，我们用 $\alpha \mathscr{H}$ 表示由所有形如 $\alpha u$ 的向量（其中 $u$ 在 $\mathscr{H}$ 中）组成的集合；陪集 $0\cdot \mathscr{H}$ 被定义为 $ℳ$ 。一个简单的验证表明，这种乘法概念满足 向量空间一节 中的公理 (B) 和 (C) 。

因此，所有陪集的集合已被证明是关于上述定义的线性运算的一个向量空间。这个向量空间称为 $𝒱$ 模 $ℳ$ 的 商空间 ；记作 $𝒱/ℳ$ 。