向量空间

现在我们来到本书的基本概念。对于接下来的定义，我们假设给定了一个特定的域 $𝔽$ ；所使用的标量应为 $𝔽$ 的元素。

定义 1. 向量空间是一个由称为向量的元素组成的集合 $𝒱$ ，且满足以下公理。

(A) 对于 $𝒱$ 中的每一对向量 $x$ 和 $y$ ，都对应着一个向量 $x + y$ ，称为 $x$ 和 $y$ 的和，使得

加法满足交换律，即 $x + y = y + x$ ，
加法满足结合律，即 $x + (y + z) = (x + y) + z$ ，
在 $𝒱$ 中存在一个唯一的向量 $0$ （称为原点），使得对于每一个向量 $x$ 都有 $x + 0 = x$ ，以及
对于 $𝒱$ 中的每一个向量 $x$ ，都对应一个唯一的向量 $- x$ ，使得 $x + (- x) = 0$ 。

(B) 对于每一对 $α$ 和 $x$ （其中 $α$ 是标量， $x$ 是 $𝒱$ 中的向量），在 $𝒱$ 中都对应着一个向量 $α x$ ，称为 $α$ 和 $x$ 的乘积，使得

数乘满足结合律，即 $α (β x) = (α β) x$ ，以及
对于每一个向量 $x$ ，都有 $1 x = x$ 。

(C)

数乘对向量加法满足分配律，即 $α (x + y) = α x + α y$ ，以及
向量数乘对标量加法满足分配律，即 $(α + β) x = α x + β x$ 。

这些公理并不要求在逻辑上是独立的；它们仅仅是对我们想要研究的对象的一种便利的刻画。向量空间 $𝒱$ 与基域 $𝔽$ 之间的关系通常描述为： $𝒱$ 是 $𝔽$ 上的向量空间。如果 $𝔽$ 是实数域 $ℝ$ ，则 $𝒱$ 称为实向量空间；类似地，如果 $𝔽$ 是 $ℚ$ 或如果 $𝔽$ 是 $ℂ$ ，我们则称其为有理向量空间或复向量空间。