同构

作为线性基（或坐标系）概念的一个应用，我们现在将履行之前的一个隐式承诺，证明域 $𝔽$ 上的每个有限维向量空间本质上都与某个 $𝔽^{n}$ 相同（用技术语言来说，是同构的）。

定义 1。如果（在同一个域上的）两个向量空间 $𝒰$ 和 $𝒱$ 的向量 $x$ （属于 $𝒰$ ）与向量 $y$ （属于 $𝒱$ ）之间存在一一对应关系，不妨记为 $y = T (x)$ ，使得 $T (α_{1} x_{1} + α_{2} x_{2}) = α_{1} T (x_{1}) + α_{2} T (x_{2})$ 那么这两个向量空间是同构的。换句话说，如果 $𝒰$ 和 $𝒱$ 之间存在一个同构（例如 $T$ ），则它们是同构的，其中同构是指保持所有线性关系的一一对应。

易见，同构的有限维向量空间具有相同的维数；一个空间中的每个基都对应着另一个空间中的一个基。因此，维数是一个同构不变量；我们现在将证明它是唯一的同构不变量，即任意两个具有相同有限维数（当然是在同一个域上）的向量空间都是同构的。由于一方面 $𝒰$ 和 $𝒱$ 同构，另一方面 $𝒱$ 和 $𝒲$ 同构，意味着 $𝒰$ 和 $𝒲$ 同构，因此只需证明以下定理即可。

定理 1。域 $𝔽$ 上的每个 $n$ 维向量空间 $𝒱$ 都同构于 $𝔽^{n}$ 。

证明。设 ${x_{1}, \dots, x_{n}}$ 是 $𝒱$ 中的任意一组基。 $𝒱$ 中的每个 $x$ 都可以写成 $ξ_{1} x_{1} + \dots + ξ_{n} x_{n}$ 的形式，并且我们知道标量 $ξ_{1}, \dots, ξ_{n}$ 由 $x$ 唯一确定。我们考虑 $𝒱$ 与 $𝔽^{n}$ 之间的一一对应关系 $x ⇄ (ξ_{1}, \dots, ξ_{n})$ 如果 $y = η_{1} x_{1} + \dots + η_{n} x_{n}$ ，那么 $α x + β y = (α ξ_{1} + β η_{1}) x_{1} + \dots + (α ξ_{n} + β η_{n}) x_{n}$ 这就建立了所需的同构。 ◻

人们可能会倾向于认为，从现在开始，再通过讨论一般的 $n$ 维向量空间来试图保持一种形式上的通用性是愚蠢的，因为我们知道，从研究线性问题的角度来看，同构的向量空间是无法区分的，因此，我们不妨总是研究 $𝔽^{n}$ 。但这里有一个陷阱。向量和向量空间最核心的性质是那些独立于坐标系的性质，换句话说，就是那些在同构下保持不变的性质。然而， $𝒱$ 与 $𝔽^{n}$ 之间的对应关系是通过选择一个坐标系建立起来的；如果我们总是研究 $𝔽^{n}$ ，我们将永远被束缚在那个特定的坐标系中，否则我们就必须总是面对繁琐的工作，去证明我们的定义 and 定理独立于它们恰好被表述时所采用的坐标系。（这种可怕的困境在稍后少数几次我们被迫使用特定坐标系来给出定义时会变得清晰起来。）因此，在本书的大部分内容中，我们将忽略刚刚证明的定理，并将 $n$ 维向量空间视为独立于任何基的独立实体。除了刚才提到的原因之外，这样做还有另一个原因：许多向量空间的特例，例如 $𝒫_{n}$ ，如果我们把它们转化为 $ℂ^{n}$ 并仅讨论坐标，就会失去很多直观内容。在研究向量空间（如 $𝒫_{n}$ ）及其与其他向量空间的关系时，我们必须能够同样轻松地在不同的坐标系中处理它们，或者（这在本质上是同一回事）我们必须能够完全不使用任何坐标系来处理它们。

练习

练习 1。

将所有复数的集合 $ℂ$ 视为实向量空间时，它的维数是多少？（参见章节：示例，(9)。）
每个复向量空间 $𝒱$ 都与一个实向量空间 $𝒱^{-}$ 密切相关；空间 $𝒱^{-}$ 是通过拒绝用实标量以外的任何东西乘以 $𝒱$ 的向量而从 $𝒱$ 中获得的。如果复向量空间 $𝒱$ 的维数是 $n$ ，那么实向量空间 $𝒱^{-}$ 的维数是多少？

练习 2。所有实数的集合 $ℝ$ 在所有有理数的域 $ℚ$ 上是有限维向量空间吗？（参见章节：示例，(8)。这个问题并非显而易见；了解一些关于基数的知识会有所帮助。）

练习 3。在域 $ℤ_{p}$ （其中 $p$ 是素数）上的 $n$ 维向量空间中，有多少个向量？

练习 4。讨论以下断言：如果两个有理向量空间具有相同的基数（即，如果它们之间存在某种一一对应关系），那么它们是同构的（即，它们之间存在保持线性的一一对应关系）。进行合理的讨论需要了解基数算术的基本事实。