交错形式

一个 k -线性型 w 是反对称的，如果对于 𝒮 k 中的每一个奇置换 π 都有 π w = − w 。等价地，如果对于 𝒮 k 中的每一个置换 π 都有 π w = ( sgn ⁡ π ) w ，则 w 是反对称的。（如果对于所有的 π 都有 π w = ( sgn ⁡ π ) w ，那么特别地，只要 π 是奇置换，就有 π w = − w 。反之，如果对于所有奇置换 π 都有 π w = − w ，那么给定一个任意的 π ，将其分解为对换，设为 π = τ 1 … τ q ，观察到 sgn ⁡ π = ( − 1 ) q ，并且由于 π w = ( − 1 ) q w ，从而得出结论 π w = ( sgn ⁡ π ) w ，正如所断言的那样。该证明默认使用了一个未经验证但很容易得到的结论：如果 σ 和 τ 是 𝒮 k 中的置换，那么 ( σ τ ) w = ( σ ( τ w ) ) 。）所有反对称 k -线性型的集合是所有 k -线性型空间的一个子空间。为了得到反对称双线性型 w 的一个非平凡例子，设 y 1 和 y 2 为线性泛函，并写出 w ( x 1 , x 2 ) = y 1 ( x 1 ) y 2 ( x 2 ) − y 1 ( x 2 ) y 2 ( x 1 ) . 更一般地，如果 w 是一个任意的 k -线性型，可以通过构造 ∑ ( sgn ⁡ π ) π w 从 w 获得一个反对称的 k -线性型，其中求和范围延伸到 𝒮 k 中的所有置换 π 。

一个 k -线性型 w 被称为交错的，如果只要有两个 x 相等，就有 w ( x 1 , … , x k ) = 0 。（注意，如果 k = 1 ，那么这个条件是空满足的。）所有交错 k -线性型的集合是所有 k -线性型空间的一个子空间。交错型和反对称型之间存在着一种重要的关系。

定理 1. 每个交错多线性型都是反对称的。

证明. 假设 w 是一个交错 k -线性型，且 i 和 j 是整数，满足 1 ≤ i < j ≤ k 。如果 x 1 , … , x k 是向量，我们记 w 0 ( x i , x j ) = w ( x 1 , … , x k ) ; 如果除 x i 和 x j 之外的 x 被（暂时）固定，那么 w 0 是关于其两个自变量的交错双线性型。由于根据双线性性，有 w 0 ( x i + x j , x i + x j ) = w 0 ( x i , x i ) + w 0 ( x i , x j ) + w 0 ( x j , x i ) + w 0 ( x j , x j ) , 并且由于根据 w 0 的交错性质，该等式的左边和右边的两个极端项都消失了，我们看到 w 0 ( x j , x i ) = − w 0 ( x i , x j ) 。然而，这意味着 ( i , j ) w ( x 1 , … , x k ) = − w ( x 1 , … , x k ) , 或者，由于 x 是任意的，有 ( i , j ) w = − w 。由于每个奇置换 π 都是奇数个对换（例如 ( i , j ) ）的乘积，因此对于每个奇置换 π 都有 π w = − w ，定理的证明至此完成。 ◻

交错型和反对称型之间的联系涉及一个微妙之处。考虑以下关于定理 1 逆命题的“证明”：如果 w 是一个反对称 k -线性型，如果 1 ≤ i < j ≤ k ，并且如果 x 1 , … , x k 是满足 x i = x j 的向量，那么由于 x i = x j ，有 ( i , j ) w ( x 1 , … , x k ) = w ( x 1 , … , x k ) 同时，由于 w 是反对称的，有 ( i , j ) w ( x 1 , … , x k ) = − w ( x 1 , … , x k ) 因此 w ( x 1 , … , x k ) = − w ( x 1 , … , x k ) ，从而 w 是交错的。这个论证是错误的；问题出在“如果 w = − w ，那么 w = 0 ”这一推导中。如果我们更详细地检查这一推导，我们会发现它是基于以下推理：如果 w = − w ，那么 w + w = 0 ，从而有 ( 1 + 1 ) w = 0 。这是正确的。问题在于，在某些域中 1 + 1 = 0 ，因此从 ( 1 + 1 ) w = 0 推导到 w = 0 是不成立的；事实上，对于此类域上的向量空间，定理 1 的逆命题是错误的。

定理 2. 如果 x 1 , … , x k 是线性相关的向量，且 w 是一个交错 k -线性型，那么 w ( x 1 , … , x k ) = 0 。

证明. 如果对于某个 i 有 x i = 0 ，那么结论是平凡的。如果所有的 x i 都不等于 0 ，我们应用 节：线性组合 的定理来找到一个 x h （ 2 ≤ h ≤ k ），它是前面向量的线性组合。设，比如 x h = ∑ i = 0 h − 1 α i x i ，我们将 w ( x 1 , … , x k ) 中的 x h 替换为此展开式，并利用 w 在其第 h 个自变量上的线性性质，通过同类型的论证得出所需的结论。 ◻

在一种极端情况下（即当 k = n 时），定理 2 的某种逆命题是成立的。

定理 3. 如果 w 是一个非零交错 n -线性型，且 x 1 , … , x n 是线性无关的向量，那么 w ( x 1 , … , x n ) ≠ 0 。

证明. 由于（节：维数，定理 2）向量 x 1 , … , x n 构成一组基，对于任意给定的一组 n 个向量 y 1 , … , y n ，我们可以将每个 y 写为 x 的线性组合。如果我们将 w ( y 1 , … , y n ) 中的每个 y 替换为相应的 x 的线性组合，并利用多线性性质展开结果，我们将得到一个很长的项的线性组合，例如 w ( z 1 , … , z n ) ，其中每个 z 都是 x 中的一个。如果在这样的项中，有两个 z 重合，那么由于 w 是交错的，该项必须消失。另一方面，如果所有的 z 都是不同的，那么对于某个置换 π ，有 w ( z 1 , … , z n ) = π w ( x 1 , … , x n ) 。由于（定理 1） w 是反对称的，因此有 w ( z 1 , … , z n ) = ( sgn ⁡ π ) w ( x 1 , … , x n ) 。如果 w ( x 1 , … , x n ) = 0 ，那么将得出 w ( z 1 , … , z n ) = 0 ，从而对于所有的 y 1 , … , y n 都有 w ( y 1 , … , y n ) = 0 ，这与假设 w ≠ 0 矛盾。 ◻

该结果的证明（而非其陈述本身）产生了一个有价值的推论。

定理 4. 任意两个交错 n -线性型都是线性相关的。

证明. 假设 w 1 和 w 2 是交错 n -线性型，且 { x 1 , … , x n } 是一组基。给定任意 n 个向量 y 1 , … , y n ，将它们中的每一个都写为 x 的线性组合，并且正如上面一样，在 w 1 ( y 1 , … , y n ) 和 w 2 ( y 1 , … , y n ) 中，将它们中的每一个都替换为相应的线性组合。由此可知， w 1 ( y 1 , … , y n ) 和 w 2 ( y 1 , … , y n ) 中的每一个都是诸如 w 1 ( z 1 , … , z n ) 和 w 2 ( z 1 , … , z n ) 等项的线性组合（相同的线性组合），其中每个 z 都是 x 中的一个。由于 w 1 ( x 1 , … , x n ) 和 w 2 ( x 1 , … , x n ) 是标量，它们是线性相关的，因此存在不全为零的标量 α 1 和 α 2 ，使得 α 1 w 1 ( x 1 , … , x n ) + α 2 w 2 ( x 1 , … , x n ) = 0 ；从这些事实中，我们可以推断出 α 1 w 1 + α 2 w 2 = 0 ，正如所断言的那样。 ◻