乘积基

在进行最后一点初步解释之后，我们就可以讨论张量积的正式定义了。事实证明，在技术上更优的做法是间接地得到 $𝒰 \otimes 𝒱$ ，即将其定义为另一个空间的对偶空间；我们将默示地利用自反性来获得 $𝒰 \otimes 𝒱$ 本身。由于我们仅证明了有限维空间的自反性，因此我们将该定义限制在这些空间中。

Definition 1. 两个有限维向量空间 $𝒰$ 和 $𝒱$ （在同一个域上）的张量积 $𝒰 \otimes 𝒱$ 是 $𝒰 \oplus 𝒱$ 上所有双线性型构成的向量空间的对偶空间。对于每一对向量 $x$ 和 $y$ ，其中 $x$ 在 $𝒰$ 中， $y$ 在 $𝒱$ 中，张量积 $z = x \otimes y$ 是 $𝒰 \otimes 𝒱$ 中的元素，其定义为 $z (w) = w (x, y)$ ，对于每一个双线性型 $w$ 。

这个定义是引入该理论最快速且严谨的方法之一，但它确实会在后面导致一些令人不快的技术复杂性。然而，无论它有什么缺点，我们注意到它显然具有两个期望的性质：即，显然维数是可乘的（参见双线性型一节，定理 2，以及对偶基一节，定理 2），并且显然 $x \otimes y$ 线性地依赖于其每个因子。

另一种可能（且理所当然很流行）的张量积定义是通过形式积。根据该定义， $𝒰 \otimes 𝒱$ 是通过考虑所有形如 $\sum_{i} α_{i} (x_{i} \otimes y_{i})$ 的符号，并在这些符号的集合中，进行向量运算的线性性质和张量乘法的双线性性质所要求的等同化而得到的。（对于纯粹主义者：在这个定义中， $x \otimes y$ 仅代表 $x$ 和 $y$ 的有序对；乘号只是为了提示预期的结果。）这两个定义都不简单；我们采用我们给出的定义，是因为它似乎更符合本书其余部分的精神。我们定义的主要缺点是它不能轻易地推广到有限维向量空间最有用的一些推广，即模和无限维空间。

目前我们仅证明一个关于张量积的定理。该定理是对乘积这一术语的进一步合理化，顺便提一下，它也是对“维数是可乘的”这一断言的深化。

Theorem 1. 如果 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ 和 $𝒴 = {y_{1}, \dots, y_{m}}$ 分别是 $𝒰$ 和 $𝒱$ 中的基，那么向量 $z_{i j} = x_{i} \otimes y_{j}$ （ $i = 1, \dots, n$ ； $j = 1, \dots, m$ ）构成的集合 $𝒵$ 是 $𝒰 \otimes 𝒱$ 中的一个基。

证明. 设 $w_{p q}$ 是 $𝒰 \oplus 𝒱$ 上的双线性型，满足 $w_{p q} (x_{i}, y_{j}) = δ_{i p} δ_{j q}$ （ $p = 1, \dots, n$ ； $j = 1, \dots, m$ ）；此类双线性型的存在性，以及它们构成所有双线性型的基这一事实，由双线性型一节定理 2 得出。设是 $𝒰 \otimes 𝒱$ 中的对偶基，使得。如果 $w = \sum_{p} \sum_{q} α_{p q} w_{p q}$ 是 $𝒰 \oplus 𝒱$ 上的任意双线性型，那么结论由向量确实构成 $𝒰 \otimes 𝒱$ 的基这一事实得出。 ◻

习题

Exercise 1. 如果 $x = (1, 1)$ 和 $y = (1, 1, 1)$ 分别是 $ℝ^{2}$ 和 $ℝ^{3}$ 中的向量，求 $x \otimes y$ 在 $ℝ^{2} \otimes ℝ^{3}$ 中关于乘积基 ${x_{i} \otimes y_{j}}$ 的坐标，其中 $x_{i} = (δ_{i 1}, δ_{i 2})$ 且 $y_{j} = (δ_{1 j}, δ_{2 j}, δ_{3 j})$ 。

Exercise 2. 设 $𝒫_{n, m}$ 是所有具有复系数、关于两个变量 $s$ 和 $t$ 的多项式 $z$ 构成的空间，满足要么 $z = 0$ ，要么对于每个固定的 $s$ ， $z (s, t)$ 的次数 $\leq m - 1$ ，且对于每个固定的 $t$ ，其次数 $\leq n - 1$ 。证明在 $𝒫_{n} \otimes 𝒫_{m}$ 与 $𝒫_{n, m}$ 之间存在一个同构，使得与 $x \otimes y$ （其中 $x$ 在 $𝒫_{n}$ 中， $y$ 在 $𝒫_{m}$ 中）相对应的 $𝒫_{n, m}$ 中的元素 $z$ 由 $z (s, t) = x (s) y (t)$ 给出。

Exercise 3. 张量积的构造在多大程度上满足交换律和结合律？分配律 $𝒰 \otimes (𝒱 \oplus 𝒲) = (𝒰 \otimes 𝒱) \oplus (𝒰 \otimes 𝒲)$ 呢？

Exercise 4. 如果 $𝒱$ 是有限维向量空间，且 $x$ 和 $y$ 在 $𝒱$ 中，是否必然有 $x \otimes y = y \otimes x$ ？

Exercise 5.

假设 $𝒱$ 是有限维实向量空间，并设 $𝒰$ 是所有复数构成的集合 $ℂ$ （将其视为二维实向量空间）。构造张量积 $𝒱^{+} = 𝒰 \otimes 𝒱$ 。证明存在一种定义复数与 $𝒱^{+}$ 中元素的乘积的方法，使得只要 $α$ 和 $x$ 在 $ℂ$ 中且 $y$ 在 $𝒱$ 中，就有 $α (x \otimes y) = (α x) \otimes y$ 。
证明关于向量加法以及（a）中定义的复标量乘法，空间 $𝒱^{+}$ 是一个复向量空间。
用实向量空间 $𝒱$ 的维数来表示复向量空间 $𝒱^{+}$ 的维数。
证明向量空间 $𝒱$ 同构于 $𝒱^{+}$ 中的一个子空间（当后者被视为实向量空间时）。

这个练习的启示是，不仅每个复向量空间都可以被视为实向量空间，而且在某种意义上，反之亦然。复向量空间 $𝒰^{+}$ 被称为 $𝒱$ 的复化。

Exercise 6. 如果 $𝒰$ 和 $𝒱$ 是有限维向量空间，那么的对偶空间是什么？