谱的表征

Proof. 我们可以忽略第一个断言在实数情况下是显然的这一事实；同样的证明适用于在实数和复数情况下确立这两个断言。事实上，如果 $Ax=\lambda x$ ，其中 $x\ne 0$ ，那么，$$\frac{(Ax,x)}{\Vert x{\Vert }^2}=\frac{\lambda (x,x)}{\Vert x{\Vert }^2}=\lambda ;$$ 由此可知，如果 $(Ax,x)$ 是实数（参见 Section: Polarization ，定理 4），那么 $\lambda$ 也是实数，如果 $(Ax,x)$ 是正的（或严格正的），那么 $\lambda$ 也是正的（或严格正的）。 ◻

Proof. 在复数情况下，特征方程的根与特征值是同一回事，结论由定理 1 得出。如果 $A$ 是欧几里得空间上的对称变换，那么它的复化 $A^{+}$ 是埃尔米特（Hermitian）的，结论由 $A$ 和 $A^{+}$ 具有相同的特征方程这一事实得出。 ◻

Proof. 如果 $U$ 是等距变换，且如果 $Ux=\lambda x$ ，其中 $x\ne 0$ ，那么 $\Vert x\Vert =\Vert Ux\Vert =|\lambda |\cdot \Vert x\Vert$ 。 ◻

Proof. 假设 $A{x}_1={\lambda }_1{x}_1$ ，$A{x}_2={\lambda }_2{x}_2$ ，${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 。如果 $A$ 是自伴的，那么 （中间步骤利用了 $A$ 的自伴性质，最后一步利用了 ${\lambda }_2$ 是实数这一事实。）在 $A$ 是等距变换的情况下，(1) 被替换为 回想一下 ${\overline{\lambda }}_2=1/{\lambda }_2$ 。在任何一种情况下，$(x_1,x_2)\ne 0$ 都将意味着 ${\lambda }_1$ $={\lambda }_2$ ，因此我们必须有 $(x_1,x_2)=0$ 。 ◻

Proof. 在有限维子空间 $ℳ$ 上考虑，变换 $U$ 仍然是等距变换，因此它是可逆的。由此可知，$ℳ$ 中的每个 $x$ 都可以写成 $x=Uy$ 的形式，其中 $y$ 在 $ℳ$ 中；换句话说，如果 $x$ 在 $ℳ$ 中，且如果 $y=U^{-1}x$ ，那么 $y$ 在 $ℳ$ 中。因此 $ℳ$ 在 $U^{-1}=U^{\ast }$ 下是不变的。由 Section: Adjoints of projections ，定理 2 可知，${ℳ}^{⟂}$ 在 $(U^{\ast }{)}^{\ast }=U$ 下是不变的。 ◻

Proof. 显然 $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的，因此 ${ℳ}^{⟂}$ 也是不变的；让我们用 $B$ 和 $C$ 分别表示仅在 $ℳ$ 和 ${ℳ}^{⟂}$ 上考虑的线性变换 $A$ 。对于所有的 $\lambda$ ，我们有 $$\det (A-\lambda )=\det (B-\lambda )\cdot \det (C-\lambda )$$ 。由于 $B$ 是有限维空间上的自伴变换，且只有一个特征值，即 ${\lambda }_0$ ，因此 ${\lambda }_0$ 必须作为 $B$ 的特征值出现，其代数重数等于 $ℳ$ 的维数。如果该维数是 $m$ ，那么 $\det (B-\lambda )=({\lambda }_0-\lambda {)}^m$ 。另一方面，由于 ${\lambda }_0$ 根本不是 $C$ 的特征值，因此，$\det (C-{\lambda }_0)\ne 0$ ，我们看到 $det(A-\lambda )$ 恰好包含 $({\lambda }_0-\lambda )$ 作为因式 $m$ 次，证毕。 ◻