自然同构

现在读者可能（或者无论如何应该）只剩下最后一个疑问了。我们前面的许多结果都是诸如 $A^{* *} = A$ 这样的自反性关系的推论；在经历了“方括号到圆括号的变革”之后，这些结果是否依然有效？更确切地说，我们可以这样来提问。我们关于酉空间 $𝒱$ 所说的每一句话，对于酉空间 $𝒱^{*}$ 也必须成立；特别地，它与其对偶空间 $𝒱^{* *}$ 之间也存在着一种自然的共轭同构关系。如果现在我们让 $𝒱$ 中的每个向量对应于 $𝒱^{* *}$ 中的一个向量，方法是首先应用从 $𝒱$ 到 $𝒱^{*}$ 的自然共轭同构，然后再以同样的方式从 $𝒱^{*}$ 到 $𝒱^{* *}$ ，那么这个映射就是从 $𝒱$ 到 $𝒱^{* *}$ 的“自然映射”这一称号的竞争者，而这个称号在第一章中已经授予了一个看似不同的对应关系。这两个自然对应关系之间有什么关系？我们关于圆括号理论和方括号理论重合（除了微不足道的修改之外）的陈述，实际上是由我们将要证明的一个事实所证实的，即这两个映射是相同的。（这并不奇怪，因为 $\bar{\bar{α}} = α$ ，在两次应用之后，令人烦恼的共轭就消失了。）证明过程比它的引言还要短。

设 $y_{0}$ 为 $𝒱$ 的任意元素；与之对应的是 $𝒱^{*}$ 中的线性泛函 $y_{0}^{*}$ ，定义为 $y_{0} * (x) = (x, y_{0})$ ，而与 $y_{0}^{*}$ 对应的，反过来又是 $𝒱^{* *}$ 中的线性泛函 $y_{0}^{* *}$ ，定义为 $y_{0}^{* *} (y^{*}) = (y^{*}, y_{0}^{*})$ 。这两个对应关系都是由本章中引入的映射给出的。此前（参见节：自反性）， $𝒱$ 中的 $y_{0}$ 在 $𝒱^{* *}$ 中的对应物 $y_{0}^{* *}$ 被定义为对于 $𝒱^{*}$ 中的所有 $y^{*}$ ，有 $y_{0}^{* *} (y^{*}) = y^{*} (y_{0})$ ；我们必须证明，我们在这里定义的 $y_{0}^{* *}$ 满足这个等式。设 $y^{*}$ 为 $𝒱$ 上的任意线性泛函（即 $𝒱^{*}$ 的任意元素）；我们有 $y_{0}^{* *} (y^{*}) = (y^{*}, y_{0}^{*}) = (y_{0}, y) = y^{*} (y_{0}) .$ （中间的等号来自 $𝒱^{*}$ 中内积的定义。）这就解决了我们所有的问题。

习题

练习 1. 如果 $ℳ$ 和 $𝒩$ 是有限维内积空间的子空间，那么 $(ℳ + 𝒩)^{⟂} = ℳ^{⟂} \cap 𝒩^{⟂}$ 并且 $(ℳ \cap 𝒩)^{⟂} = ℳ^{⟂} + 𝒩^{⟂} .$

练习 2. 如果对于 $ℂ^{3}$ 中的每个 $x = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})$ ，有，求 $ℂ^{3}$ 中的一个向量 $y$ ，使得。

练习 3. 如果 $y$ 是内积空间中的一个向量， $A$ 是该空间上的线性变换，且对于每个向量 $x$ ，有 $f (x) = \overset{―}{(y, A x)}$ ，那么 $f$ 是一个线性泛函；求一个向量 $y^{*}$ ，使得对于每个 $x$ ，有 $f (x) = (x, y^{*})$ 。

练习 4.

如果 $A$ 是有限维内积空间上的线性变换，那么 $tr (A^{*} A) \geq 0$ ； $tr (A^{*} A) = 0$ 的充分必要条件是 $A = 0$ 。（提示：考虑矩阵。）迹的这一性质通常可用于获取关于变换及其伴随的乘积的、在其他情况下难以得到的代数事实。
通过迹的论证以及直接证明，如果 $A_{1}, \dots, A_{k}$ 是有限维内积空间上的线性变换，且 $\sum_{j = 1}^{k} A_{j}^{*} A_{j} = 0$ ，那么 $A_{1} = \dots = A_{k} = 0$ 。
如果 $A^{*} A = B^{*} B - B B^{*}$ ，那么 $A = 0$ 。
如果 $A^{*}$ 与 $A$ 可交换，且 $A$ 与 $B$ 可交换，那么 $A^{*}$ 与 B 可交换。（提示：如果 $C = A^{*} B - B A^{*}$ 且 $D = A B - B A$ ，那么 $tr (C^{*} C) = tr (D^{*} D) + tr [(A^{*} A - A A^{*}) (B^{*} B - B B^{*})] .)$

练习 5.

假设 $ℋ$ 是一个酉空间，并构成所有有序对 $⟨ x, y ⟩$ 的集合，其中 $x$ 和 $y$ 在 $ℋ$ 中（即 $ℋ$ 与自身的直和）。证明等式 $(⟨ x_{1}, y_{1} ⟩, ⟨ x_{2}, y_{2} ⟩) = (x_{1}, x_{2}) + (y_{1}, y_{2})$ 在直和 $ℋ \oplus ℋ$ 中定义了一个内积。
如果 $U$ 定义为 $U ⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, - x ⟩$ ，那么 $U^{*} U = 1$ 。
在 $ℋ$ 上的线性变换 $A$ 的图是 $ℋ \oplus ℋ$ 中所有满足 $y = A x$ 的元素 $⟨ x, y ⟩$ 的集合。证明 $ℋ$ 上的每个线性变换的图都是 $ℋ \oplus ℋ$ 的子空间。
如果 $A$ 是 $ℋ$ 上的线性变换，其图为 $𝒢$ ，那么 $A^{*}$ 的图是 $A$ 的图在 $U$ 下的像（参见 (b)）在 $ℋ \oplus ℋ$ 中的正交补。

练习 6.

如果对于有限维内积空间上的每个线性变换 $A$ ，有 $N (A) = \sqrt{tr (A^{*} A)}$ ，那么 $N$ 是一个范数（在所有线性变换的空间上）。
范数 $N$ 是由内积诱导的吗？

练习 7.

如果内积空间上的两个线性变换 $A$ 和 $B$ 满足：存在一个可逆线性变换 $P$ 使得 $B = P^{*} A P$ ，则称它们是合同的。（这个概念通常是针对与线性变换相关联的“二次型”来定义的，而不是针对线性变换本身；这在很大程度上取决于个人喜好。注意，如果 $α (x) = (A x, x)$ 且 $β (x) = (B x, x)$ ，那么 $B = P^{*} A P$ 意味着 $β (x) = α (P x)$ 。）证明合同是一个等价关系。
如果 $A$ 和 $B$ 合同，那么 $A^{*}$ 和 $B^{*}$ 也合同。
是否存在一个线性变换 $A$ ，使得 $A$ 与标量 $α$ 合同，但 $A \neq α$ ？
是否存在线性变换 $A$ 和 $B$ ，使得 $A$ 和 $B$ 合同，但 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ 不合同？
如果两个可逆变换合同，那么它们的逆变换也合同。