正规变换

谱定理最简单（同时也是最有用）的推广适用于复内积空间（即酉空间）。为了避免不必要的复杂性，在本节中我们排除实数情况，而将注意力仅集中在酉空间上。

我们已经看到，每个埃尔米特变换都是可对角化的，并且任意变换 $A$ 都可以写成 $B + i C$ 的形式，其中 $B$ 和 $C$ 是埃尔米特变换；为什么不能简单地通过分别对角化 $B$ 和 $C$ 来对角化 $A$ 呢？答案当然是，对角化涉及选择合适的规范正交基，而没有理由期望对角化 $B$ 的基会对 $C$ 产生相同的效果。了解谱定理对其成立的确切变换类具有相当重要的意义，幸运的是，这个类很容易描述。

如果一个线性变换 $A$ 与其伴随变换对易，即 $A^{*} A = A A^{*}$ ，我们称其为正规的。（这个定义在实内积空间和复内积空间中都是有意义且被使用的；然而，我们将继续使用与复数情况密不可分的技术。）我们首先指出， $A$ 是正规的当且仅当它的实部和虚部对易。事实上，假设 $A$ 是正规的，且 $A = B + i C$ ，其中 $B$ 和 $C$ 是埃尔米特变换；由于 $B = \frac{1}{2} (A + A^{*})$ 且 $C = \frac{1}{2 i} (A - A^{*})$ ，显然有 $B C = C B$ 。反之，如果 $B C = C B$ ，那么两个关系式 $A = B + i C$ 和 $A^{*} = B - i C$ 蕴含了 $A$ 是正规的。我们注意到埃尔米特变换和酉变换都是正规的。

在 Section: 谱定理意义下具有谱形式的变换类恰好是正规变换类。这个命题的一半很容易证明：如果 $A = \sum_{j} α_{j} E_{j}$ ，那么 $A^{*} = \sum_{j} {\bar{α}}_{j} E_{j}$ ，只需简单的计算即可表明 $A^{*} A = A A^{*} = \sum_{j} | α_{j} |^{2} E_{j}$ 。为了证明逆命题，即证明正规性蕴含谱形式的存在，我们有两种选择。我们可以利用实部和虚部，从埃尔米特变换的谱定理中推导出这个结果，或者我们可以证明 Section: 谱的刻画中作为埃尔米特情况证明基础的关键引理，对于任意正规变换同样有效。因为其方法具有一定的趣味性，我们采用第二种步骤。我们注意到，证明以下引理所需的工具在 Section: 谱的刻画中已经具备，因此我们本可以立即陈述正规变换的谱定理；我们之所以采取目前的路线，主要是为了引出正规性的定义。

定理 1. 如果 $A$ 是正规的，那么 $x$ 是 $A$ 的特征向量的充分必要条件是它是 $A^{*}$ 的特征向量；如果 $A x = λ x$ ，那么 $A^{*} x = \bar{λ} x$ 。

证明. 我们注意到 $A$ 的正规性蕴含了

由于 $A - λ$ 与 $A$ 一同为正规的，且由于 $(A - λ)^{*} = A^{*} - \bar{λ}$ ，我们得到关系式 $‖ A x - λ x ‖ = ‖ A^{*} x - \bar{λ} x ‖,$ 定理的断言由此直接得出。 ◻

定理 2. 如果 $A$ 是正规的，那么属于不同特征值的特征向量是正交的。

证明. 如果 $A x_{1} = λ_{1} x_{1}$ 且 $A x_{2} = λ_{2} x_{2}$ ，那么 $λ_{1} (x_{1}, x_{2}) = (A x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, A^{*} x_{2}) = λ_{2} (x_{1}, x_{2}) .$ ◻

该定理推广了 Section: 谱的刻画定理 4；在埃尔米特变换谱定理的证明中，我们还需要 Section: 谱的刻画定理 5 和定理 6。以下结果取代了其中的第一个。

定理 3. 如果 $A$ 是正规的， $λ$ 是 $A$ 的特征值，且 $ℳ$ 是 $A x = λ x$ 的所有解的集合，那么 $ℳ$ 和 $ℳ^{⟂}$ 在 $A$ 下都是不变的。

证明. $ℳ$ 在 $A$ 下是不变的事实我们之前已经见过；这与正规性无关。为了证明 $ℳ^{⟂}$ 在 $A$ 下也是不变的，只需证明 $ℳ$ 在 $A^{*}$ 下是不变的。这很容易；如果 $x$ 在 $ℳ$ 中，那么 $A (A^{*} x) = A^{*} (A x) = λ (A^{*} x),$ 因此 $A^{*} x$ 也在 $ℳ$ 中。 ◻

该定理比 Section: 谱的刻画中的对应定理要弱得多。然而，需要注意的重要一点是，Section: 谱的刻画定理 6 的证明仅依赖于定理 5 的相应弱化版本；唯一需要考虑的子空间是前述定理中所述类型的子空间。

准备工作到此结束；正规算子的谱定理与之前的埃尔米特情况完全一样。如果我们将 Section: 谱定理定理中的“自伴”一词替换为“正规”，删除所有关于实性的提及，并坚持基底内积空间为复空间，那么陈述的其余部分和所有证明都保持不变。

在酉空间的研究中，最令人感兴趣的是正规变换理论。关于正规变换最有用的一点事实是，在 Section: 谱的刻画定理 1 和定理 3 中给出的那类谱条件（在那里被证明是变换具有自伴性、正定性和等距性的必要条件），在正规情况下也是充分条件。

定理 4. 有限维酉空间上的正规变换是 (1) 埃尔米特变换、(2) 正的、(3) 严格正的、(4) 酉变换、(5) 可逆的、(6) 幂等的，当且仅当其所有特征值分别为 (1 ) 实数、(2 ) 正数、(3 ) 严格正数、(4 ) 绝对值为 1、(5 ) 不为零、(6 ) 等于零或一。

证明. (1)、(2)、(3) 和 (4) 分别蕴含 (1 )、(2 )、(3 ) 和 (4 ) 的事实，可由 Section: 谱的刻画得出。如果 $A$ 是可逆的且 $A x = λ x$ ，其中 $x \neq 0$ ，那么 $x = A^{- 1} A x = λ A^{- 1} x,$ 因此 $λ \neq 0$ ；这证明了 (5) 蕴含 (5 )。如果 $A$ 是幂等的且 $A x = λ x$ ，其中 $x \neq 0$ ，那么 $λ x = A x = A^{2} x = λ^{2} x,$ 从而有 $(λ - λ^{2}) x = 0$ ，因此 $λ = λ^{2}$ ；这证明了 (6) 蕴含 (6 )。注意，这些证明对于任意内积空间（甚至不一定是有限维的）都是有效的，并且 $A$ 是正规的这一辅助假设也是多余的。

现在假设 $A$ 的谱形式为 $\sum_{j} α_{j} E_{j}$ 。由于 $A^{*} = \sum_{j} {\bar{α}}_{j} E_{j}$ ，我们看到 (1 ) 蕴含 (1)。由于 $(A x, x) = \sum_{j} α_{j} (E_{j} x, x) = \sum_{j} α_{j} ‖ E_{j} x ‖^{2},$ 由此可得 (2 ) 蕴含 (2)。如果对所有 $j$ 都有 $α_{j} > 0$ 且 $(A x, x) = 0$ ，那么对所有 $j$ 必须有 $E_{j} x = 0$ ，因此 $x = \sum_{j} E_{j} x = 0$ ；这证明了 (3 ) 蕴含 (3)。从 (4 ) 到 (4) 的蕴含关系由以下关系式得出 $A^{*} A = \sum_{j} | α_{j} |^{2} E_{j} .$ 如果对所有 $j$ 都有 $α_{j} \neq 0$ ，我们可以构造线性变换 $B = \sum_{j} \frac{1}{α_{j}} E_{j}$ ；由于 $A B = B A = 1$ ，由此可得 (5 ) 蕴含 (5)。最后， $A^{2} = \sum_{j} α_{j}^{2} E_{j}$ ；由此我们推断出 (6 ) 蕴含 (6)。

我们注意到，蕴含关系 (5) $⟹$ (5 )、(2) $⟹$ (2 ) 以及 (3 ) $⟹$ (3) 共同兑现了我们在 Section: 正变换中做出的承诺；如果 $A$ 是正的且可逆的，那么 $A$ 是严格正的。 ◻

习题

习题 1. 给出一个既不是埃尔米特变换也不是酉变换的正规变换的例子。

习题 2.

如果 $A$ 是（有限维酉空间上的）任意线性变换，且 $α$ 和 $β$ 是满足 $| α | = | β | = 1$ 的复数，那么 $α A + β A^{*}$ 是正规的。
如果对所有 $x$ 都有 $‖ A x ‖ = ‖ A^{*} x ‖$ ，那么 $A$ 是正规的。
两个正规变换的和总是正规的吗？

习题 3. 如果 $A$ 是有限维酉空间上的正规变换，且 $ℳ$ 是在 $A$ 下不变的子空间，那么 $A$ 在 $𝕄$ 上的限制也是正规的。

习题 4. 有限维酉空间 $𝒱$ 上的线性变换 $A$ 是正规的，当且仅当对于 $𝒱$ 的每个子空间 $ℳ$ ， $A ℳ \subset ℳ$ 都蕴含 $A ℳ^{⟂} \subset ℳ^{⟂}$ 。

习题 5.

如果 $A$ 是正规且幂等的，那么它是自伴的。
如果 $A$ 是正规且幂零的，那么它是零。
如果 $A$ 是正规的且 $A^{3} = A^{2}$ ，那么 $A$ 是幂等的。如果省略正规性的假设，结论是否依然成立？
如果 $A$ 是自伴的，且对于某个严格正整数 $k$ 有 $A^{k} = 1$ ，那么 $A^{2} = 1$ 。

习题 6. 如果 $A$ 和 $B$ 是正规的且 $A B = 0$ ，是否可以推导出 $B A = 0$ ？

习题 7. 假设 $A$ 是 $n$ 维酉空间上的线性变换；设 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ 是 $A$ 的特征值（每个特征值出现的次数等于其代数重数）。证明 $\sum_{i} | λ_{i} |^{2} \leq tr (A^{*} A),$ 并且 $A$ 是正规的当且仅当等号成立。

习题 8. 有限维酉空间上的线性变换 $A$ 的数值域是所有形如 $(A x, x)$ 且满足 $‖ x ‖ = 1$ 的复数组成的集合 $W (A)$ 。

如果 $A$ 是正规的，那么 $W (A)$ 是凸的。（这意味着如果 $ξ$ 和 $η$ 在 $W (A)$ 中，且 $0 \leq α \leq 1$ ，那么 $α ξ + (1 - α) η$ 也在 $W (A)$ 中。）
如果 $A$ 是正规的，那么 $W (A)$ 的每个极点都是 $A$ 的特征值。（极点是指对于 $W (A)$ 中的任何 $ξ$ 和 $η$ 以及严格介于 $0$ 和 $1$ 之间的任何 $α$ ，都不具有 $α ξ + (1 - α) η$ 形式的点。）
已知即使不假设正规性，(a) 的结论依然成立。这一事实可以表述如下：如果 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 是埃尔米特变换，那么实坐标平面中所有形如 $((A_{1} x, x), (A_{2} x, x))$ （其中 $‖ x ‖ = 1$ ）的点集是凸的。证明将这一断言推广到两个以上的埃尔米特变换是错误的。
证明对于非正规变换，(b) 的结论可能不成立。