正交变换

由于酉空间上的酉变换是正规的，前一节的结果将酉变换理论作为一个特例包含在内。然而，由于实内积空间上的正交变换不一定有任何特征值，我们目前所知的谱定理并没有给我们提供关于正交变换的任何信息。弄清事实并不困难；复化理论正是为此目的而量身定制的。

假设 $U$ 是有限维实内积空间 $𝒱$ 上的正交变换；令 $U^{+}$ 是 $U$ 到复化空间 ${𝒱}^{+}$ 的延拓。由于 $U^{\ast }U=1$ （在 $𝒱$ 上），因此可以得出 $(U^{+}{)}^{\ast }{U}^{+}=1$ （在 ${𝒱}^{+}$ 上），也就是说， $U^{+}$ 是酉的。

令 $\lambda =\alpha +i\beta$ 为复数（ $\alpha$ 和 $\beta$ 为实数），并令 $ℳ$ 为由 ${𝒱}^{+}$ 中 $U^{+}z=\lambda z$ 的所有解组成的子空间。（如果 $\lambda$ 不是 $U^{+}$ 的特征值，则 $ℳ=𝒪$ 。）如果 $z$ 在 $ℳ$ 中，写成 $z=x+iy$ ，其中 $x$ 和 $y$ 在 $𝒱$ 中。方程 $$Ux+iUy=(\alpha +i\beta )(x+iy)$$ 意味着（参见 节：复化 ） $$Ux=\alpha x-\beta y$$ 和 $$Uy=\beta x+\alpha y.$$ 如果我们将最后一对方程中的第二个乘以 $i$ ，然后从第一个中减去它，我们得到 $$Ux-iUy=(\alpha -i\beta )(x-iy).$$ 这意味着 $U^{+}\overline{z}=\overline{\lambda }\overline{z}$ ，其中具有启发性且方便的符号 $\overline{z}$ 当然表示向量 $x-iy$ 。由于该论证（即从 $U^{+}z=\lambda z$ 到 $U^{+}\overline{z}=\overline{\lambda }\overline{z}$ 的推导）是可逆的，我们已经证明了映射 $z\to \overline{z}$ 是 $ℳ$ 与由 $U^{+}\overline{z}=\overline{\lambda }\overline{z}$ 的所有解 $\overline{z}$ 组成的子空间 $\overline{ℳ}$ 之间的一一对应关系。该结果尤其意味着， $U^{+}$ 的复特征值是成对出现的；如果 $\lambda$ 是其中之一，那么 $\overline{\lambda }$ 也是。（仅凭这一评注，我们本可以从 $U^{+}$ 的特征多项式的系数是实数这一事实中更快地得出。）

我们还没有利用 $U^{+}$ 的酉性质。我们可以利用它的一种方式是：如果 $\lambda$ 是 $U^{+}$ 的复（绝对不是实数）特征值，那么 $\lambda \ne \overline{\lambda }$ ；由此得出，如果 $U^{+}z=\lambda z$ ，从而有 $U^{+}\overline{z}=\overline{\lambda }\overline{z}$ ，那么 $z$ 和 $\overline{z}$ 是正交的。这意味着 $$0=(x+iy,x-iy)=\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2+i((x,y)+(y,x)),$$ 从而有 $\Vert x{\Vert }^2=\Vert y{\Vert }^2$ 且 $(x,y)=-(y,x)$ 。由于实内积是对称的（ $(x,y)=(y,x)$ ），因此可以得出 $(x,y)=0$ 。这反过来意味着 $\Vert z{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$ ，从而有 $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =\frac{1}{\sqrt{2}}\Vert z\Vert$ 。

如果 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 是 $U^{+}$ 的特征值，满足 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 且 ${\lambda }_1\ne {\overline{\lambda }}_2$ ，并且如果 $z_1=x_1+i{y}_1$ 和 $z_2=x_2+i{y}_2$ 是相应的特征向量（ $x_1$ ， $x_2$ ， $y_1$ ， $y_2$ 在 $𝒱$ 中），那么 $z_1$ 和 $z_2$ 是正交的，并且（因为 ${\overline{z}}_2$ 是属于特征值 ${\overline{\lambda }}_2$ 的特征向量） $z_1$ 和 ${\overline{z}}_2$ 也是正交的。再次利用用 $𝒱$ 上的实内积表示 ${𝒱}^{+}$ 上的复内积的表达式，我们看到 $$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1,y_2)-(y_1,x_2)=0$$ 和 $$(x_1,x_2)-(y_1,y_2)=(x_1,y_2)+(y_1,x_2)=0.$$ 由此得出，这四个向量 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $y_1$ 和 $y_2$ 是两两正交的。

酉变换 $U^{+}$ 也可以有实特征值。然而，由于我们知道 $U^{+}$ 的特征值的绝对值为一，因此可以得出 $U^{+}$ 唯一可能的实特征值是 $+1$ 和 $-1$ 。如果 $U^{+}(x+iy)=\pm (x+iy)$ ，那么 $Ux=\pm x$ 且 $Uy=\pm y$ ，因此具有实特征值的 $U^{+}$ 的特征向量可以通过以显而易见的方式将 $U$ 的特征向量组合在一起来获得。

我们现在准备迈出最后一步。给定 $U$ ，在 $Ux=x$ 的解的线性流形（在 $𝒱$ 中）中选择一个标准正交基，设为 ${𝒳}_1$ ，类似地，在 $Ux=-x$ 的解的线性流形（在 $𝒱$ 中）中选择一个标准正交基，设为 ${𝒳}_{-1}$ 。（集合 ${𝒳}_1$ 和 ${𝒳}_{-1}$ 可以为空。）接下来，对于 $U^{+}$ 的每一对共轭复特征值 $\lambda$ 和 $\overline{\lambda }$ ，在 $U^{+}z=\lambda z$ 的解的线性流形（在 ${𝒱}^{+}$ 中）中选择一个标准正交基 $\{z_1,\dots ,z_r\}$ 。如果 $z_j=x_j+i{y}_j$ （其中 $x_j$ 和 $y_j$ 在 $𝒱$ 中），令 ${𝒳}_{\lambda }$ 为 $𝒱$ 中向量的集合 $\{\sqrt{2}{x}_1,\sqrt{2}{y}_1,\dots ,\sqrt{2}{x}_r,\sqrt{2}{y}_r\}$ 。我们得到的结果意味着，如果我们对 $U^{+}$ 的所有特征值 $\lambda$ ，将所有集合 ${𝒳}_1$ 、 ${𝒳}_{-1}$ 和 ${𝒳}_{\lambda }$ 取并集，我们就得到了 $𝒱$ 的一个标准正交基。在 ${𝒳}_1$ 有三个元素， ${𝒳}_{-1}$ 有四个元素，且有两个共轭对 $\{{\lambda }_1,{\overline{\lambda }}_1\}$ 和 $\{{\lambda }_2,{\overline{\lambda }}_2\}$ 的情况下， $U$ 关于如此构造的基的矩阵看起来像这样： （所有未明确指出的项都等于零。）一般而言，主对角线上有一串 $+1$ ，接着是一串 $-1$ ，然后是一串沿着对角线排列的二阶方块，每个方块的形式为 ，其中 ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$ 。 ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$ 这一事实意味着我们可以找到一个实数 $\theta$ such that $\alpha =\cos \theta$ and $\beta =\sin \theta$ ；在书写正交变换矩阵的规范形时，习惯上使用这种三角表示。

习题