极化

在继续研究复数与线性变换之间的类比这一计划之前，我们先花点时间来了解一些关于内积空间的重要辅助结论。

定理 1。内积空间上的线性变换 $A$ 为 $0$ 的充分必要条件是，对于所有的 $x$ 和 $y$ ，都有 $(A x, y) = 0$ 。

证明。该条件的必要性是显而易见的；充分性可通过令 $y$ 等于 $A x$ 得出。 ◻

定理 2。内积空间 $A$ 上的自伴随线性变换 $A$ 为 $0$ 的充分必要条件是，对于所有的 $x$ ，都有 $(A x, x) = 0$ 。

证明。必要性是显而易见的。充分性的证明首先要验证恒等式

（展开右边的第一项。）由于 $A$ 是自伴随的，该方程的左边等于 $2 Re (A x, y)$ 。假设的条件意味着右边消失，因此 $Re (A x, y) = 0$ 。此时，有必要将证明分为两种情况。如果内积空间是实空间（即 $A$ 对称），那么 $(A x, y)$ 是实数，因此 $(A x, y) = 0$ 。如果内积空间是复空间（即 $A$ 是厄米特的），那么我们可以找到一个复数 $θ$ 使得 $| θ | = 1$ 且 $θ (A x, y) = | (A x, y) |$ 。（这里 $x$ 和 $y$ 暂时固定。）将我们已有的结果应用于 $θ x$ 代替 $x$ ，可得因此，在任何一种情况下，对于所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $(A x, y) = 0$ ，由定理 1 即可得出所需的结果。 ◻

探究定理 2 中 $A$ 的自伴随性有多重要是有益的；答案是在复数情况下，它一点也不重要。

定理 3。酉空间上的线性变换 $A$ 为 $0$ 的充分必要条件是，对于所有的 $x$ ，都有 $(A x, x) = 0$ 。

证明。同前，必要性是显而易见的。为了证明充分性，我们使用所谓的极化恒等式：

（与 (1) 相同，证明包括展开右边的第一项。）如果 $(A x, x)$ 恒为零，那么我们首先选择 $α = β = 1$ ，然后选择 $α = i$ （ $= \sqrt{- 1}$ ）， $β = 1$ 将这两个方程中的第二个除以 $i$ ，然后求它们的算术平均值，我们便看到对于所有的 $x$ 和 $y$ 都有 $(A x, y) = 0$ ，因此根据定理 1， $A = 0$ 。 ◻

这种极化过程经常用于在仅已知“二次型” $(A x, x)$ 的情况下，获取关于“双线性型” $(A x, y)$ 的信息。

需要特别注意的是，尽管定理 3 看起来很简单，但它非常本质地利用了复数系统；它以及它的许多推论在实内积空间中并不成立。当然，证明在我们选择 $α = \sqrt{- 1}$ 时就失效了。作为一个例子，考虑平面旋转 $90^{\circ}$ ；它显然具有将每个向量 $x$ 映射到与 $x$ 正交的向量的性质。

我们已经看到厄米特变换扮演着与实数相同的角色；以下定理表明，它们与“实性”概念的联系，比启发其定义的表面类比要深刻得多。

定理 4。酉空间上的线性变换 $A$ 是厄米特变换的充分必要条件是，对于所有的 $x$ ， $(A x, x)$ 都是实数。

证明。如果 $A = A^{*}$ ，那么 $(A x, x) = (x, A^{*} x) = (x, A x) = \overset{―}{(A x, x)},$ 因此 $(A x, x)$ 等于它自己的共轭，从而为实数。反之，如果 $(A x, x)$ 总是实数，那么 $(A x, x) = \overset{―}{(A x, x)} = (x, A^{*} x) = (A^{*} x, x),$ 因此对于所有的 $x$ 都有 $([A - A^{*}] x, x) = 0$ ，且根据定理 3， $A = A^{*}$ 。 ◻

定理 4 对于实内积空间是不成立的。这是意料之中的，因为首先，它的证明依赖于一个仅对酉空间成立的定理；其次，在实空间中， $(A x, x)$ 的实性是自动满足的，而恒等式 $(A x, y) = (x, A y)$ 则不一定满足。