极分解

平方根理论还有一个有用的推论，即复数极坐标表示 $ζ = ρ e^{i θ}$ 的类似结论。

定理 1. 若 $A$ 是有限维内积空间上的任意线性变换，则存在（唯一确定的）正变换 $P$ 以及等距变换 $U$ ，使得 $A = U P$ 。若 $A$ 可逆，则 $U$ 也由 $A$ 唯一确定。

证明. 尽管在逻辑上并非必要，我们首先对 $A$ 可逆的情形给出证明；一般情况的证明是这一特殊情况的明显修改，且特殊情况的证明更能揭示变换 $A$ 的几何结构。

因为变换 $A^{*} A$ 是正的，我们可以求它的（唯一的）正平方根， $P = \sqrt{A^{*} A}$ 。记 $V = P A^{- 1}$ ；由于 $V A = P$ ，若能证明 $V$ 是等距变换，定理就得证，因为此时可取 $U = V^{- 1}$ 。由于 $V^{*} = (A^{- 1})^{*} P^{*} = (A^{*})^{- 1} P,$ 我们看到 $V^{*} V = (A^{*})^{- 1} P P A^{- 1} = (A^{*})^{- 1} A^{*} A A^{- 1} = 1,$ 所以 $V$ 是等距变换，证毕。

为证明唯一性，我们注意到 $U P = U_{0} P_{0}$ 蕴含 $P U^{*} = P_{0} U_{0}^{*}$ ，因此 $P^{2} = P U^{*} U P = P_{0} U_{0}^{*} U_{0} P_{0} = P_{0}^{2} .$ 由于正变换 $P^{2} = P_{0}^{2}$ 只有一个正平方根，从而 $P = P_{0}$ 。（在这一部分证明中，我们没有用到 $A$ 的可逆性。）若 $A$ 可逆，则 $P$ 也可逆（因为 $P = U^{- 1} A$ ），由此（将关系式 $U P = U_{0} P_{0}$ 右乘 $P^{- 1} = P_{0}^{- 1}$ ）即得 $U = U_{0}$ 。

我们现在转向一般情况，其中我们不假定 $A$ 是可逆的。我们以上述完全相同的方式构造 $P$ ，使得 $P^{2} = A^{*} A$ ，然后我们注意到，对于每个向量 $x$ ，我们有如果对于 $P$ 的值域 $ℛ (P)$ 中的每个向量 $y = P x$ ，我们记作 $U y = A x$ ，则变换 $U$ 在其有定义的地方都是保长的。我们必须证明 $U$ 是唯一确定的，即 $P x_{1} = P x_{2}$ 蕴含 $A x_{1} = A x_{2}$ 。这是正确的，因为 $P (x_{1} - x_{2}) = 0$ 等价于 $‖ P (x_{1} - x_{2}) ‖ = 0$ ，而后一条件蕴含 $‖ A (x_{1} - x_{2}) ‖ = 0$ 。至今仅在子空间 $ℛ (P)$ 上定义的变换 $U$ 的值域是 $ℛ (A)$ 。由于 $U$ 是线性的， $ℛ (A)$ 与 $ℛ (P)$ 具有相同的维数，因此 $(ℛ (A))^{⟂}$ 与 $(ℛ (P))^{⟂}$ 也具有相同的维数。如果我们在 $(ℛ (P))^{⟂}$ 上定义 $U$ 为将 $(ℛ (P))^{⟂}$ 映到 $(ℛ (A))^{⟂}$ 的任意线性和等距变换，那么这样在整个 $𝒱$ 上确定的 $U$ 是一个等距变换，且对所有 $x$ 满足 $U P x = A x$ 。这就完成了证明。 ◻

将刚刚证明的定理应用于 $A^{*}$ （以代替 $A$ ），然后取伴随，我们还得到对偶的事实：每个 $A$ 都可以写成 $A = P U$ 的形式，其中 $U$ 是等距变换， $P$ 是正变换。与笛卡儿分解（节：自伴变换）相对照，我们称表示 $A = U P$ 为 $A$ 的一个极分解 。

依据极分解，我们得到正规性的一个新刻画。

定理 2. 如果 $A = U P$ 是线性变换 $A$ 的一个极分解，那么 $A$ 为正规的一个必要且充分的条件是 $P U = U P$ 。

证明：由于 $U$ 不一定由 $A$ 唯一确定，该陈述应作如下理解：若 $A$ 是正规的，则 $P$ 与每一个 $U$ 可交换，且若 $P$ 与某个 $U$ 可交换，则 $A$ 是正规的。由于 $A A^{*} = U P^{2} U^{*} = U P^{2} U^{- 1}$ 以及 $A^{*} A = P^{2}$ ，显然 $A$ 是正规的当且仅当 $U$ 与 $P^{2}$ 可交换。然而，因为 $P^{2}$ 是 $P$ 的函数，反之 $P$ 也是 $P^{2}$ 的函数（ $P = \sqrt{P^{2}}$ ），所以与 $P^{2}$ 可交换等价于与 $P$ 可交换。 ◻

习题

习题 1. 若有限维内积空间上的一个线性变换只有一个极分解，则它是可逆的。

习题 2. 利用函数演算推导正规算子的极分解。

习题 3.

若 $A$ 是有限维内积空间上的任意线性变换，则存在部分等距 $U$ 和正变换 $P$ ，使得 $𝒩 (U) = 𝒩 (P)$ 且 $A = U P$ 。变换 $U$ 和 $P$ 由这些条件唯一确定。
变换 $A$ 是正规的当且仅当(a)中描述的变换 $U$ 和 $P$ 彼此可交换。