投影定理

由于内积空间的子空间本身也可以被视为一个内积空间，因此可以应用前一节的定理。以下被称为投影定理的结果是最重要的应用。

定理 1. 如果 $ℳ$ 是有限维内积空间 $𝒱$ 的任意子空间，那么 $𝒱$ 是 $ℳ$ 和 $ℳ^{⟂}$ 的直和，并且 $ℳ^{⟂⟂} = ℳ$ 。

证明. 设 $𝒳 = {x_{1}, \dots, x_{m}}$ 是在 $ℳ$ 中完备的正交规范集，并设 $z$ 是 $𝒱$ 中的任意向量。我们写出 $x = \sum_{i} α_{i} x_{i}$ ，其中 $α_{i} = (z, x_{i})$ ；由章节：完备性定理 1 可知， $y = z - x$ 在 $ℳ^{⟂}$ 中，因此 $z$ 是两个向量的和，即 $z = x + y$ ，其中 $x$ 在 $ℳ$ 中，而 $y$ 在 $ℳ^{⟂}$ 中。 $ℳ$ 与 $ℳ^{⟂}$ 是不相交的，这是显而易见的；如果 $x$ 同时属于两者，那么我们应该有 $‖ x ‖^{2} = (x, x) = 0$ 。由章节：直和的定理可知， $𝒱 = ℳ \oplus ℳ^{⟂}$ 。

我们观察到，在分解式 $z = x + y$ 中，我们有 $(z, x) = (x + y, x) = ‖ x ‖^{2} + (y, x) = ‖ x ‖^{2},$ 并且类似地，有 $(z, y) = ‖ y ‖^{2} .$ 因此，如果 $z$ 在 $ℳ^{⟂⟂}$ 中，从而有 $(z, y) = 0$ ，那么 $‖ y ‖^{2} = 0$ ，从而 $z$ （ $= x$ ）在 $ℳ$ 中；换句话说， $ℳ^{⟂⟂}$ 包含在 $ℳ$ 中。由于我们已经知道 $ℳ$ 包含在 $ℳ^{⟂⟂}$ 中，定理的证明至此完成。 ◻

这种内积空间的直和分解（通过子空间及其正交补）具有相当重要的几何意义。我们稍后将研究相关的投影；它们被证明是所有投影类中一个有趣且重要的子类。目前我们仅指出其与勾股定理的联系；由于 $(z, x) = ‖ x ‖^{2}$ 且 $(z, y) = ‖ y ‖^{2}$ ，我们有 $‖ z ‖^{2} = (z, z) = (z, x) + (z, y) = ‖ x ‖^{2} + ‖ y ‖^{2} .$ 换句话说，斜边的平方等于直角边的平方和。更一般地，如果 $ℳ_{1}, \dots, ℳ_{k}$ 是内积空间 $𝒱$ 中两两正交的子空间，且 $x = x_{1} + \dots + x_{k}$ ，其中对于 $j = 1, \dots, k$ ， $x_{j}$ 在 $ℳ_{j}$ 中，那么 $‖ x ‖^{2} = ‖ x_{1} ‖^{2} + \dots + ‖ x_{k} ‖^{2} .$