复内积

如果我们想考虑 ${ℂ}^2$ 而不是 ${ℝ}^2$ ，会发生什么？推广似乎顺理成章；对于 $x=({\xi }_1,{\xi }_2)$ 和 $y=({\eta }_1,{\eta }_2)$ （其中现在的 $\xi$ 和 $\eta$ 可以是复数），我们写成 $(x,y)={\xi }_1{\eta }_1+{\xi }_2{\eta }_2$ ，并且我们希望表达式 $\Vert x\Vert =(x,x)$ 和 $\Vert x-y\Vert$ 可以用作合理的距离度量。然而，请注意以下奇怪的现象（其中 $i=\sqrt{-1}$ ）：这意味着如果 $\Vert x\Vert$ 是正的，也就是说，如果 $x$ 与原点的距离为正，那么 $ix$ 则不然；事实上，从 $0$ 到 $ix$ 的距离是虚数。这是非常令人不快的；当然，合理的要求是，在这种情况下，无论什么东西要扮演 $(x,y)$ 的角色，它都应该具有这样的性质：当 $x=y$ 时，它永远不会变成负数。一个形式上的补救办法就在眼前；我们可以尝试写成 $$(x,y)={\xi }_1{\overline{\eta }}_1+{\xi }_2{\overline{\eta }}_2$$ （其中横线表示复共轭）。在这个定义中，表达式 $(x,y)$ 失去了它以前的大部分美感；它在 $x$ 和 $y$ 上不再完全对称，并且在它的每个变量中也不再完全是线性的。但是，而这正是促使我们给出新定义的原因，$$(x,x)={\xi }_1{\overline{\xi }}_1+{\xi }_2{\overline{\xi }}_2=|{\xi }_1{|}^2+|{\xi }_2{|}^2$$ 肯定永远不会是负数。先验地看，基于一个失去了如此多最初吸引我们注意的性质的函数，是否能建立起一个有用且优雅的理论，是令人怀疑的；这种表面上的不优雅将在接下来的内容中因其成功而得到证明。一个令人振奋的前兆是这样的。考虑空间 ${ℂ}^1$ （即所有复数的集合）。在这个空间中画出任何构型的图像，然后能够将其与 ${ℝ}^2$ 中的构型区分开来，这是不可能的，但从概念上讲，它显然是一个不同的空间。在这个空间中，对于 $x=({\xi }_1)$ 和 $y=({\eta }_1)$ ，$(x,y)$ 的对应物由 $(x,y)={\xi }_1{\overline{\eta }}_1$ 给出，并且这个表达式确实有一个简单的几何解释。如果我们用线段将 $x$ 和 $y$ 连接到原点，可以肯定的是，$(x,y)$ 不会是这两条线段之间夹角的余弦值；事实证明，对于 $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =1$ ，它的实部恰好就是那个余弦值。

我们在这里被迫引入的复共轭稍后会回来困扰我们；目前，在对符号再作一次说明之后，我们离开这个启发性的介绍，转入正式的工作。符号 $(,)$ 和 $[,]$ 的相似性（这里一个用于内积，另一个之前用于线性泛函）并非偶然。我们稍后将表明，事实上，正是由于 $(,)$ 中复共轭的存在，才使得有必要为其使用一个与 $[,]$ 不同的符号。然而，目前我们还不能奢侈地将两者混淆。