'} \\end{align} （要将 (2 \\('\\) ) 的左边化为右边，可使用 (1)，利用 (2) 展开，然后再次使用 (1)。）这一事实与内积的定义一起，解释了有时用于描述性质 (1)、(2)、(3)（以及它们的推论 (2 \\('\\) )）的术语。根据该术语，\\((x, y)\\) 是一个埃尔米特对称 (1)、共轭双线性 ((2) 和 (2 \\('\\) )) 且正定 (3) 的型。在欧几里得空间中，(2 \\('\\) ) 中的共轭可以与 (1) 中的共轭一起忽略；在这种情况下，\\((x, y)\\) 被称为对称、双线性和正定的型。我们注意到，在任何一种情况下，\\((x, y)\\) 上的条件都意味着 \\(\\|x\\|\\) 具有齐次性 \\[\\|\\alpha x\\|=|\\alpha| \\cdot \\|x\\|.\\] （证明：\\(\\|\\alpha x\\|^{2}=(\\alpha x, \\alpha x)=\\alpha \\bar{\\alpha}(x, x)\\) 。）

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定义 1. （实或复）向量空间中的内积是一个（分别为实或复）数值函数，其自变量为向量 \n x\n 和 \n y\n 的有序对，满足 当且仅当 一个内积空间是配备了内积的向量空间。

我们注意到，在实向量空间的情况下，(1) 中的共轭可以忽略。然而，在任何情况下（无论是实是复），(1) 都意味着 \n (\n x\n ,\n x\n )\n 总是实数，因此 (3) 中的不等式是有意义的。在内积空间中，我们将使用记号 \n \n (\n x\n ,\n x\n )\n \n =\n ‖\n x\n ‖\n ;\n 数 \n ‖\n x\n ‖\n 称为向量 \n x\n 的范数或长度。实内积空间有时被称为欧几里得空间；其复数对应物被称为酉空间。

作为酉空间的例子，我们可以考虑 \n \n \n ℂ\n \n \n n\n \n \n 和 \n \n 𝒫\n \n ；在第一种情况下，对于 \n x\n =\n (\n \n ξ\n \n 1\n \n \n ,\n …\n ,\n \n ξ\n \n n\n \n \n )\n 和 \n y\n =\n (\n \n η\n \n 1\n \n \n ,\n …\n ,\n \n η\n \n n\n \n \n )\n ，我们写作 \n (\n x\n ,\n y\n )\n =\n \n ∑\n \n i\n =\n 1\n \n \n n\n \n \n \n ξ\n \n i\n \n \n \n \n \n η\n ¯\n \n \n \n i\n \n \n ,\n 而在 \n \n 𝒫\n \n 中，我们写作 \n (\n x\n ,\n y\n )\n =\n \n ∫\n \n 0\n \n \n 1\n \n \n x\n (\n t\n )\n \n \n y\n (\n t\n )\n \n ―\n \n \n d\n t\n .\n 将这些例子转化为欧几里得空间（即实内积空间）的修改是显而易见的。

在酉空间中，我们有

内积空间

定义 1. （实或复）向量空间中的内积是一个（分别为实或复）数值函数，其自变量为向量 x 和 y 的有序对，满足 当且仅当 一个内积空间是配备了内积的向量空间。

我们注意到，在实向量空间的情况下，(1) 中的共轭可以忽略。然而，在任何情况下（无论是实是复），(1) 都意味着 ( x , x ) 总是实数，因此 (3) 中的不等式是有意义的。在内积空间中，我们将使用记号 ( x , x ) = ‖ x ‖ ; 数 ‖ x ‖ 称为向量 x 的范数或长度。实内积空间有时被称为欧几里得空间；其复数对应物被称为酉空间。

作为酉空间的例子，我们可以考虑 ℂ n 和 𝒫 ；在第一种情况下，对于 x = ( ξ 1 , … , ξ n ) 和 y = ( η 1 , … , η n ) ，我们写作 ( x , y ) = ∑ i = 1 n ξ i η ¯ i , 而在 𝒫 中，我们写作 ( x , y ) = ∫ 0 1 x ( t ) y ( t ) ― d t . 将这些例子转化为欧几里得空间（即实内积空间）的修改是显而易见的。

在酉空间中，我们有 Math mode is not properly terminated\begin{align} (x, \alpha_{1} y_{1}+\alpha_{2} y_{2})=\bar{\alpha}_{1}(x, y_{1})+\bar{\alpha}_{2}(x, y_{2}). \tag{2'} \end{align} （要将 (2 ) 的左边化为右边，可使用 (1)，利用 (2) 展开，然后再次使用 (1)。）这一事实与内积的定义一起，解释了有时用于描述性质 (1)、(2)、(3)（以及它们的推论 (2 )）的术语。根据该术语， ( x , y ) 是一个埃尔米特对称 (1)、共轭双线性 ((2) 和 (2 )) 且正定 (3) 的型。在欧几里得空间中，(2 ) 中的共轭可以与 (1) 中的共轭一起忽略；在这种情况下， ( x , y ) 被称为对称、双线性和正定的型。我们注意到，在任何一种情况下， ( x , y ) 上的条件都意味着 ‖ x ‖ 具有齐次性 ‖ α x ‖ = | α | ⋅ ‖ x ‖ . （证明： ‖ α x ‖ 2 = ( α x , α x ) = α α ¯ ( x , x ) 。）

'} \\end{align}\">Math mode is not properly terminated\\begin{align} (x, \\alpha_{1} y_{1}+\\alpha_{2} y_{2})=\\bar{\\alpha}_{1}(x, y_{1})+\\bar{\\alpha}_{2}(x, y_{2}). \\tag{2

内积空间

定义 1. （实或复）向量空间中的内积是一个（分别为实或复）数值函数，其自变量为向量 x 和 y 的有序对，满足 当且仅当 一个内积空间是配备了内积的向量空间。

我们注意到，在实向量空间的情况下，(1) 中的共轭可以忽略。然而，在任何情况下（无论是实是复），(1) 都意味着 ( x , x ) 总是实数，因此 (3) 中的不等式是有意义的。在内积空间中，我们将使用记号 ( x , x ) = ‖ x ‖ ; 数 ‖ x ‖ 称为向量 x 的范数或长度。实内积空间有时被称为欧几里得空间；其复数对应物被称为酉空间。

作为酉空间的例子，我们可以考虑 ℂ n 和 𝒫 ；在第一种情况下，对于 x = ( ξ 1 , … , ξ n ) 和 y = ( η 1 , … , η n ) ，我们写作 ( x , y ) = ∑ i = 1 n ξ i η ¯ i , 而在 𝒫 中，我们写作 ( x , y ) = ∫ 0 1 x ( t ) y ( t ) ― d t . 将这些例子转化为欧几里得空间（即实内积空间）的修改是显而易见的。

在酉空间中，我们有 Math mode is not properly terminated\begin{align} (x, \alpha_{1} y_{1}+\alpha_{2} y_{2})=\bar{\alpha}_{1}(x, y_{1})+\bar{\alpha}_{2}(x, y_{2}). \tag{2'} \end{align} （要将 (2 ) 的左边化为右边，可使用 (1)，利用 (2) 展开，然后再次使用 (1)。）这一事实与内积的定义一起，解释了有时用于描述性质 (1)、(2)、(3)（以及它们的推论 (2 )）的术语。根据该术语， ( x , y ) 是一个埃尔米特对称 (1)、共轭双线性 ((2) 和 (2 )) 且正定 (3) 的型。在欧几里得空间中，(2 ) 中的共轭可以与 (1) 中的共轭一起忽略；在这种情况下， ( x , y ) 被称为对称、双线性和正定的型。我们注意到，在任何一种情况下， ( x , y ) 上的条件都意味着 ‖ x ‖ 具有齐次性 ‖ α x ‖ = | α | ⋅ ‖ x ‖ . （证明： ‖ α x ‖ 2 = ( α x , α x ) = α α ¯ ( x , x ) 。）

'} \\end{align} （要将 (2 ) 的左边化为右边，可使用 (1)，利用 (2) 展开，然后再次使用 (1)。）这一事实与内积的定义一起，解释了有时用于描述性质 (1)、(2)、(3)（以及它们的推论 (2 )）的术语。根据该术语，\n (\n x\n ,\n y\n )\n 是一个埃尔米特对称 (1)、共轭双线性 ((2) 和 (2 )) 且正定 (3) 的型。在欧几里得空间中，(2 ) 中的共轭可以与 (1) 中的共轭一起忽略；在这种情况下，\n (\n x\n ,\n y\n )\n 被称为对称、双线性和正定的型。我们注意到，在任何一种情况下，\n (\n x\n ,\n y\n )\n 上的条件都意味着 \n ‖\n x\n ‖\n 具有齐次性 \n ‖\n α\n x\n ‖\n =\n |\n α\n |\n ⋅\n ‖\n x\n ‖\n .\n （证明：\n ‖\n α\n x\n \n ‖\n \n 2\n \n \n =\n (\n α\n x\n ,\n α\n x\n )\n =\n α\n \n \n α\n ¯\n \n \n (\n x\n ,\n x\n )\n 。）

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内积空间

定义 1. （实或复）向量空间中的内积是一个（分别为实或复）数值函数，其自变量为向量 x 和 y 的有序对，满足 当且仅当 一个内积空间是配备了内积的向量空间。

我们注意到，在实向量空间的情况下，(1) 中的共轭可以忽略。然而，在任何情况下（无论是实是复），(1) 都意味着 ( x , x ) 总是实数，因此 (3) 中的不等式是有意义的。在内积空间中，我们将使用记号 ( x , x ) = ‖ x ‖ ; 数 ‖ x ‖ 称为向量 x 的范数或长度。实内积空间有时被称为欧几里得空间；其复数对应物被称为酉空间。

作为酉空间的例子，我们可以考虑 ℂ n 和 𝒫 ；在第一种情况下，对于 x = ( ξ 1 , … , ξ n ) 和 y = ( η 1 , … , η n ) ，我们写作 ( x , y ) = ∑ i = 1 n ξ i η ¯ i , 而在 𝒫 中，我们写作 ( x , y ) = ∫ 0 1 x ( t ) y ( t ) ― d t . 将这些例子转化为欧几里得空间（即实内积空间）的修改是显而易见的。

在酉空间中，我们有 Math mode is not properly terminated\begin{align} (x, \alpha_{1} y_{1}+\alpha_{2} y_{2})=\bar{\alpha}_{1}(x, y_{1})+\bar{\alpha}_{2}(x, y_{2}). \tag{2'} \end{align} （要将 (2 ) 的左边化为右边，可使用 (1)，利用 (2) 展开，然后再次使用 (1)。）这一事实与内积的定义一起，解释了有时用于描述性质 (1)、(2)、(3)（以及它们的推论 (2 )）的术语。根据该术语， ( x , y ) 是一个埃尔米特对称 (1)、共轭双线性 ((2) 和 (2 )) 且正定 (3) 的型。在欧几里得空间中，(2 ) 中的共轭可以与 (1) 中的共轭一起忽略；在这种情况下， ( x , y ) 被称为对称、双线性和正定的型。我们注意到，在任何一种情况下， ( x , y ) 上的条件都意味着 ‖ x ‖ 具有齐次性 ‖ α x ‖ = | α | ⋅ ‖ x ‖ . （证明： ‖ α x ‖ 2 = ( α x , α x ) = α α ¯ ( x , x ) 。）