交换性

自伴算子和正规算子的谱定理以及函数演算也可用于解决某些关于交换性的问题。这是一个深刻而广泛的课题；为了说明一些方法而非实际结果，我们从中讨论两个定理。

定理 1. 有限维内积空间上的两个自伴变换 $A$ 和 $B$ 可交换，当且仅当存在一个自伴变换 $C$ 以及两个实变量的实值函数 $f$ 和 $g$ ，使得 $A = f (C)$ 且 $B = g (C)$ 。如果这样的 $C$ 存在，那么我们甚至可以将 $C$ 选成 $C = h (A, B)$ 的形式，其中 $h$ 是一个合适的两个实变量的实值函数。

证明. 条件的充分性是显然的；我们只证明必要性。

设 $A = \sum_{i} α_{i} E_{i}$ 和 $B = \sum_{j} β_{j} F_{j}$ 是 $A$ 和 $B$ 的谱形式；因为 $A$ 和 $B$ 可交换，由章节：谱定理中的定理 3 可知， $E_{i}$ 和 $F_{j}$ 可交换。设 $h$ 为任意一个两个实变量的函数，使得数 $h (α_{i}, β_{j}) = γ_{i j}$ 两两不同，并记 $C = h (A, B) = \sum_{i} \sum_{j} h (α_{i}, β_{j}) E_{i} F_{j} .$ （显然 $h$ 甚至可以选为一个多项式，我们即将描述的函数 $f$ 和 $g$ 也是如此。）设 $f$ 和 $g$ 使得对所有 $i$ 和 $j$ ，有 $f (γ_{i j}) = α_{i}$ 且 $g (γ_{i j}) = β_{j}$ 。由此得到 $f (C) = A$ 和 $g (C) = B$ ，一切得证。 ◻

定理 2. 如果 $A$ 是有限维酉空间上的一个正规变换，且 $B$ 是与 $A$ 可交换的任意变换，那么 $B$ 也与 $A^{*}$ 可交换。

证明. 设 $A = \sum_{i} α_{i} E_{i}$ 是 $A$ 的谱形式；则 $A^{*} = \sum_{i} {\bar{α}}_{i} E_{i}$ 。令 $f$ 为一个复变量的函数（多项式），使得对所有 $i$ ，有 $f (α_{i}) = {\bar{α}}_{i}$ 。由于 $A^{*} = f (A)$ ，结论得证。 ◻

习题

习题 1.

证明定理2的以下推广：若 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 是（有限维酉空间上的）正规变换，且 $A_{1} B = B A_{2}$ ，则 $A_{1}^{*} B = B A_{2}^{*}$ 。
定理2断言交换关系有时具有传递性：若 $A^{*}$ 与 $A$ 交换，且 $A$ 与 $B$ 交换，则 $A^{*}$ 与 $B$ 交换。若将 $A^{*}$ 替换为任意变换 $C$ ，此表述是否仍然成立？

习题 2.

若 $A$ 与 $A^{*} A$ 交换，能否推出 $A$ 是正规的？
若 $A^{*} A$ 与 $A A^{*}$ 交换，能否推出 $A$ 是正规的？

习题 3.

线性变换 $A$ 是正规的当且仅当存在多项式 $p$ 使得 $A^{*} = p (A)$ 。
若 $A$ 是正规的且与 $B$ 交换，则 $A$ 与 $B^{*}$ 交换。
若 $A$ 与 $B$ 是正规的且可交换，则 $A B$ 是正规的。

习题 4. 若 $A$ 与 $B$ 是正规的且相似，则它们酉等价。

习题 5.

若 $A$ 是Hermite的， $A$ 的每个本征值的重数均为 $1$ ，且 $A B = B A$ ，则存在多项式 $p$ 使得 $B = p (A)$ 。
若 $A$ 是Hermite的，则存在多项式 $p$ 使得 $B = p (A)$ 的充要条件是 $B$ 与所有与 $A$ 交换的线性变换均交换。

习题 6. 证明有限维酉空间上的交换正规变换集合可同时对角化。