幂级数

我们接下来考虑所谓的诺伊曼级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}^n$ ，其中 $A$ 是有限维向量空间上一个范数 的线性变换。如果我们记 $$S_p=\sum _{n=0}^p{A}^n,$$ 则 为了证明当 $p\to \mathrm{\infty }$ 时 $S_p$ 有极限，我们考虑（对于任意两个指标 $p$ 和 $q$ ，其中 ） $$\Vert S_p-S_q\Vert \le \sum _{n=q+1}^p\Vert A^n\Vert \le \sum _{n=q+1}^p\Vert A{\Vert }^n.$$ 因为 ，当 $p,q\to \mathrm{\infty }$ 时，最后这个量趋近于零；从而当 $p\to \mathrm{\infty }$ 时 $S_p$ 存在极限 $S$ 。为了求出这个极限，我们注意到 $1-A$ 是可逆的。（证明：$(1-A)x=0$ 意味着 $Ax=x$ ，并且，如果 $x\ne 0$ ，则这意味着 ，矛盾。）因此我们可以将 (1) 写成 因为当 $p\to \mathrm{\infty }$ 时 $A^{p+1}\to 0$ ，从而 $S=(1-A{)}^{-1}$ 。

作为变换的无穷级数的另一个例子，我们考虑指数级数。对于任意的线性变换 $A$ （不一定满足 ），我们记 $$S_p=\sum _{n=0}^p\frac{1}{n!}{A}^n.$$ 由于我们有 $$\Vert S_p-S_q\Vert \le \sum _{n=q+1}^p\frac{1}{n!}\Vert A{\Vert }^n,$$ 并且由于该不等式的右边是指数 $\exp \Vert A\Vert =e^{\Vert A\Vert }$ 的幂级数的一部分，当 $p,q\to \mathrm{\infty }$ 时收敛到 $0$ ，我们看到存在一个线性变换 $S$ 使得 $S_p\to S$ 。我们记 $S=\exp A$ ；我们仅仅提及 $A$ 的这个函数的一些初等性质。

考虑 $A$ 和 $S_p$ 的三角形式表明，$\exp A$ 的特征值连同它们的代数重数等于 $A$ 的特征值的指数。（这个论证以及接下来的一些论证只直接适用于复数情况；实数情况必须通过复化来推导。）从三角形式的考虑还可以推出 $\exp A$ 的行列式，即 $\prod _{i=1}^N\exp {\lambda }_i$ ，其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_N$ 是 $A$ 的（不一定互异的）特征值，等于 $\exp ({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_N)=\exp (\mathrm{tr}A)$ 。由于 $\exp \zeta \ne 0$ ，这顺便表明 $\exp A$ 总是可逆的。

作为线性变换的函数，指数保留了许多普通数值指数函数的简单性质。例如，取任意两个可交换的线性变换 $A$ 和 $B$ 。因为 $\exp (A+B)-\exp A\exp B$ 是当 $p\to \mathrm{\infty }$ 时表达式 的极限，当我们证明了这个表达式收敛到零时，我们就证明了指数乘法规则。（这里 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$ 表示组合系数 $\frac{n!}{j!(n-j)!}$ 。）容易验证，对于 $k+m\le p$ ，乘积 $A^m{B}^k$ 在最后一个表达式的两项中都出现，且系数仅相差一个符号。不相消的项全都在减数中，且合在一起等于 $$\sum _m\sum _k\frac{1}{m!k!}{A}^m{B}^k,$$ 求和是对那些 $m$ 和 $k$ 的值进行的，它们满足 $\le p$ 且 。由于 意味着两个整数 $m$ 和 $k$ 中至少有一个大于 $p/2$ 的整数部分（符号为 $\lfloor p/2\rfloor$ ），该余项的数范不大于 其中当 $p\to \mathrm{\infty }$ 时 ${\alpha }_p\to 0$ 且 ${\beta }_p\to 0$ 。

类似的方法可以处理 $f(A)$ ，其中 $f$ 是任何可用幂级数表示的函数， $$f(\zeta )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{\zeta }^n,$$ 并且 $\Vert A\Vert$ （严格）小于该级数的收敛半径。我们把验证这里提示的函数演算与正规变换的函数演算是一致的留给读者。因此，例如，上面定义的 $\exp A$ 与我们在 $A$ 是正规的情况下先前定义的 $\exp A$ 的概念是同一个线性变换。

习题