自伴变换的界

如同往常一样，对于自伴变换的特殊情况，我们可以比一般情况说得更详细一些。对于任意自伴变换 $A$ ，考虑实数集合 $$\mathrm{\Phi }=\{(Ax,x)/\Vert x{\Vert }^2:x\ne 0\}$$ 和 $$\mathrm{\Psi }=\{(Ax,x):\Vert x\Vert =1\}.$$ 显然 $\mathrm{\Psi }\subset \mathrm{\Phi }$ 。如果对每个 $x\ne 0$ ，我们令 $y=x/\Vert x\Vert$ ，则 $\Vert y\Vert =1$ 且 $(Ax,x)/\Vert x{\Vert }^2=(Ay,y)$ ，因此 $\mathrm{\Phi }$ 中的每一个数也出现在 $\mathrm{\Psi }$ 中，从而 $\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Psi }$ 。我们记 并称 $\alpha$ 是自伴变换 $A$ 的下界，$\beta$ 是其上界。如果回顾正变换的定义，我们看到 $\alpha$ 是使得 $A-\alpha \ge 0$ 成立的最大实数，而 $\beta$ 是使得 $\beta -A\ge 0$ 成立的最小实数。关于这些数，我们断言 $$\gamma =max\{|\alpha |,|\beta |\}=\Vert A\Vert .$$ 

一半的证明是容易的。由于 $$|(Ax,x)|\le \Vert Ax\Vert \cdot \Vert x\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert x{\Vert }^2,$$ 显然 $|\alpha |$ 和 $|\beta |$ 都被 $\Vert A\Vert$ 控制。要证明反向不等式，我们注意到两个线性变换 $\gamma -A$ 和 $\gamma +A$ 的正性意味着 $$(\gamma +A{)}^{\ast }(\gamma -A)(\gamma +A)=(\gamma +A)(\gamma -A)(\gamma +A)$$ 和 $$(\gamma -A{)}^{\ast }(\gamma +A)(\gamma -A)=(\gamma -A)(\gamma +A)(\gamma -A)$$ 都是正的，因此它们的和 $2\gamma ({\gamma }^2-A^2)$ 也是正的。由于 $\gamma =0$ 意味着 $\Vert A\Vert =0$ ，此时结论是平凡的；在其他情形下，我们可以除以 $2$ ，得到 ${\gamma }^2-A^2\ge 0$ 。换句话说， $${\gamma }^2\Vert x{\Vert }^2={\gamma }^2(x,x)\ge (A^{2}x,x)=\Vert Ax{\Vert }^2,$$ 由此得 $\gamma \ge \Vert A\Vert$ ，证明完成。

我们提请读者注意，这个证明主体部分中的计算原本完全可以避免。由于 $\gamma -A$ 和 $\gamma +A$ 都是正的，并且它们可交换，我们可以立即（参见 章节：变换的函数 ）得出它们的乘积 ${\gamma }^2-A^2$ 是正的。我们之所以采用迂回的方法，是本着这样的原则：考虑到理论的推广，应尽可能避免使用谱定理。我们关于 $A$ 和 $B$ 的正性与可交换性蕴含 $AB$ 正性的证明，是基于正变换平方根的存在性。诚然，这一事实可以用所谓的“初等”方法（即不使用谱定理的方法）得到，但即使最简单的初等证明也涉及纯粹技术性的复杂细节，对于我们的目的而言并无特别用处。