积分技巧

例 20.1。求 ${\displaystyle \int w\cdot \sin wdw}$。

解。 设 $u=w$，并将 $\sin w\cdot dw$ 记为 $dv$。那么我们有 $du=dw$，而 ${\displaystyle \int \sin w\cdot dw=-\cos w=v}$。

代入公式，得到

例 20.2。求 ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$。

解。 设 则 且

例 20.3。尝试求 ${\displaystyle \int {\cos }^2\theta d\theta }$。

解。 因此 因此 且 其中 。

例 20.4。求 ${\displaystyle \int x^2\sin xdx}$。

解。 设 则 $$\int x^2\sin xdx=-x^2\cos x+2\int x\cos xdx.$$

现在求 ${\displaystyle \int x\cos xdx}$，使用分部积分法（如上面的例 20.1）： $$\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C.$$

因此

例 20.5。求 ${\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx}$。

解。 设 则 且 $x=v$；所以 $$\int \sqrt{1-x^2}dx=x\sqrt{1-x^2}+\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

这里我们可以使用一个小技巧，因为我们可以写成 $$\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \frac{(1-x^2)dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

将这两个最后的方程相加，我们消去了 ${\displaystyle \int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}}$，得到 $$2\int \sqrt{1-x^2}dx=x\sqrt{1-x^2}+\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

你还记得 ${\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$ 吗？它是由对 $y=\arcsin x$（也写作 $y={\sin }^{-1}x$）求导得到的（参见 此处）；因此它的积分是 $\arcsin x$，所以 $$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}\arcsin x+C.$$

例 20.6。计算 ${\displaystyle \int \sqrt{3+x}dx}$。

解。 设 替换得

例 20.7。计算 ${\displaystyle \int \frac{dx}{e^x+e^{-x}}}$。¹

解。 设 $$e^x=u,\frac{du}{dx}=e^x,\text{且}dx=\frac{du}{e^x};$$ 所以

${\displaystyle \frac{du}{1+u^2}}$ 是对 $\arctan x$（也写作 ${\tan }^{-1}x$）求导的结果。

因此积分是 $\arctan \left(e^x\right)+C$。

例 20.8。计算 ${\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+2x+3}}$。

解。 $$\int \frac{dx}{x^2+2x+3}=\int \frac{dx}{x^2+2x+1+2}=\int \frac{dx}{(x+1{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}$$ 设 $$x+1=u,dx=du;$$ 则积分变为 ${\displaystyle \int \frac{du}{u^2+(\sqrt{2}{)}^2}}$；但 ${\displaystyle \frac{du}{u^2+a^2}}$ 是对 ${\displaystyle \frac{1}{a}}\arctan {\displaystyle \frac{u}{a}}$ 求导的结果。

因此最终得到给定积分的值为 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\arctan {\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{2}}}+C$。

例 20.9。计算 ${\displaystyle \int \frac{3x+1}{x^2-1}dx}$。

解。 在例 13.1 中，我们证明了 $$\frac{3x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}.$$ 因此

例 20.10。计算 ${\displaystyle \int \frac{-x^2-3}{(x^2+1)(x+1)}dx}$。

解。 在例 13.3 中，我们证明了 $$\frac{-x^2-3}{(x^2+1)(x+1)}=\frac{x-1}{x^2+1}-\frac{2}{x+1}.$$ 因此， 为了求 ${\displaystyle \int \frac{x}{x^2+1}dx}$，设 $u=x^2+1$。则 $du=2xdx$ 或 $xdx=\frac{1}{2}du$，且 $$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln |u|+C_1=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C_1.$$

由于 ${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C_2}$ 且 ${\displaystyle \int \frac{1}{x+1}dx=\ln |x+1|+C_3}$，我们得到 $$\int \frac{-x^2-3}{(x^2+1)(x+1)}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-\arctan x-2\ln |x+1|+C.$$

例 20.11。推导 ${\displaystyle \int x^n{e}^{ax}dx}$ 的递推公式，并用它计算 ${\displaystyle \int x^3{e}^{-x}dx}$。

解。 设 $u=x^n$ 和 $dv=e^{ax}dx$。则 $$du=n{x}^{n-1}dx,v=\frac{1}{a}{e}^{ax}.$$ 使用分部积分法，我们得到 在其中依次令 $a=-1$ 和 $n=3,2,1$，我们得到 由 (B) 和 (C)，我们得到 其中 $C_2=2C_1$。

由 (A) 和 (D)，我们得到 $$\int x^3{e}^{-x}dx=-x^3{e}^{-x}+3(-x^2{e}^{-x}-2x{e}^{-x}-2e^{-x})+C,$$ 其中 $C=3C_2$。

例 20.12。推导 ${\displaystyle \int {\cos }^{n}xdx}$ 的递推公式。

解。 我们写成 $$\int {\cos }^{n}dx=\int {\cos }^{n-1}x\cdot \cos xdx$$ 并设 $u=-{\cos }^{n-1}x$ 和 $dv=\cos x$。则 $$du=(n-1)\sin x{\cos }^{n-2}xdx,v=\sin x.$$ 由分部积分法可得 因此， $$n\int {\cos }^{n}xdx=\sin x{\cos }^{n-1}x+(n-1)\int {\cos }^{n-2}xdx,$$ 或 $$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{1}{n}\sin x{\cos }^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx.$$

例 20.13。计算 ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x+3}-\sqrt[4]{x+3}}dx}$。

解。 令 $u^4=x+3$，我们消去了根号。则 $$u^4=x+3\Rightarrow 4u^{3}du=dx$$ 且

例 20.14。计算 ${\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}dx}$

解。 将分子和分母同时乘以 $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$，我们得到 因此 $$\int \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}dx=\int \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}dx.$$ 为了计算最后一个积分并消去根号，设 $u^2=1-x^2$。则 $udu=-xdx$ 且