幂法则

例 4.1. 微分 $y=x^2$。

解. 让我们从简单的表达式 $y=x^2$ 开始。现在请记住，微积分的基本概念是增长。数学家称之为变化。既然 $y$ 和 $x^2$ 相等，那么显然，如果 $x$ 增长，$x^2$ 也会增长。而如果 $x^2$ 增长，那么 $y$ 也会增长。我们需要找出的是 $y$ 的增长与 $x$ 的增长之间的比例。换句话说，我们的任务是找出 $dy$ 与 $dx$ 的比值，或者简而言之，求出 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 的值。

那么，让 $x$ 稍微变大一点，变成 $x+dx$；同样地，$y$ 也会稍微变大，变成 $y+dy$。那么，显然，增大的 $y$ 仍然等于增大的 $x$ 的平方。将其写下来，我们有：$$y+dy=(x+dx{)}^2.$$ 进行平方运算，我们得到：$$y+dy=x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2.$$

$(dx{)}^2$ 是什么意思？记住 $dx$ 表示 $x$ 的一小部分。那么 $(dx{)}^2$ 表示 $x$ 的一小部分的一小部分；也就是说，如上所述，它是一个二阶小量。因此，与其他项相比，它可以被忽略，因为它完全不重要。忽略它，我们得到：$$y+dy=x^2+2x\cdot dx.$$ 现在 $y=x^2$；所以让我们从方程中减去它，我们得到 $$dy=2x\cdot dx.$$ 两边除以 $dx$，我们得到 $$\frac{dy}{dx}=2x.$$

现在，这¹ 正是我们想要找到的。在我们这个例子中，$y$ 的增长与 $x$ 的增长之比被证明是 $2x$。

假设 $x=100$，因此 $y=10,000$。然后让 $x$ 增长到 $101$（即令 $dx=1$）。那么增大的 $y$ 将是 $101\times 101=10,201$。但如果我们同意可以忽略二阶小量，那么与 $10,000$ 相比，$1$ 可以被舍弃；因此我们可以将增大的 $y$ 四舍五入为 $10,200$。$y$ 从 $10,000$ 增长到 $10,200$；增加的部分是 $dy$，因此它是 $200$。

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{200}{1}}=200$。根据上一段的代数运算，我们得到 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=2x$。确实如此；因为 $x=100$ 且 $2x=200$。

但是，你可能会说，我们忽略了一整个单位。

好吧，再试一次，让 $dx$ 变得更小。

尝试 $dx=\frac{1}{10}$。那么 $x+dx=100.1$，且 $$(x+dx{)}^2=100.1\times 100.1=10,020.01.$$

现在最后一位数字 $1$ 只是 $10,000$ 的百万分之一，完全可以忽略；所以我们可以取 $10,020$ 而忽略末尾的小数。这使得 $dy=20$；且 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{20}{0.1}}=200$，仍然等于 $2x$。

例 4.2. 尝试用同样的方法微分 $y=x^3$。

解. 我们让 $y$ 增长到 $y+dy$，同时 $x$ 增长到 $x+dx$。

然后我们有 $$y+dy=(x+dx{)}^3.$$

进行立方运算，我们得到 $$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx+3x(dx{)}^2+(dx{)}^3.$$

现在我们知道可以忽略二阶和三阶小量；因为当 $dy$ 和 $dx$ 都变得无限小时，$(dx{)}^2$ 和 $(dx{)}^3$ 相比之下会变得无限小。因此，将它们视为可忽略，我们得到：$$y+dy=x^3+3x^2\cdot dx.$$

但 $y=x^3$；减去这个，我们得到： 以及

例 4.3. 尝试微分 $y=x^4$。

解. 像之前一样，让 $y$ 和 $x$ 都稍微增长，我们得到： 计算出四次方，我们得到 $$y+dy=x^4+4x^{3}dx+6x^2(dx{)}^2+4x(dx{)}^3+(dx{)}^4.$$ 然后去掉所有包含 $dx$ 更高次幂的项，因为它们相比之下可以忽略，我们得到 $$y+dy=x^4+4x^{3}dx.$$ 减去原始的 $y=x^4$，我们得到 $$dy=4x^{3}dx,$$ 以及 $$\frac{dy}{dx}=4x^3.$$

例 4.4. 尝试微分 $y=x^5$。

解. 那么 忽略所有包含高阶小量的项，我们得到 $$y+dy=x^5+5x^{4}dx,$$ 减去 $y=x^5$ 得到 $$dy=5x^{4}dx,$$ 由此 完全如我们所料。

例 4.5. 微分 $y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$。

解. 我们可以写成 $y=x^{-2}$。然后像之前一样进行： 通过二项式定理（见附录）展开，我们得到 因此，忽略高阶小量，我们得到：$$y+dy=x^{-2}-2x^{-3}\cdot dx.$$ 减去原始的 $y=x^{-2}$，我们得到 或 $$\frac{dy}{dx}=-2x^{-3}.$$ 这仍然符合上面推断的规则。

例 4.6. 微分 $y=\sqrt{x}$。

解. 注意 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。² 所以令 $y=x^{\frac{1}{2}}$。然后，像之前一样， 减去原始的 $y=x^{\frac{1}{2}}$，并忽略更高次幂，我们得到：$$dy=\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\cdot dx,$$ 以及 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{-\frac{1}{2}}$。与通用规则一致。