定积分及其若干应用

积分学的一个用途是使我们能够确定曲线所围成图形的面积。

让我们试着一步一步地深入这个主题。

设 $A B$ （见下图）为一条已知方程的曲线。也就是说，该曲线上的 $y$ 是 $x$ 的某个已知函数。现在考虑从点 $P$ 到点 $Q$ 的一段曲线。

Figure 1 图 1 图 19.1

设从点 $P$ 引一条垂线 $P M$ ，从点 $Q$ 引另一条垂线 $Q N$ 。接着令 $O M = x_{1}$ ， $O N = x_{2}$ ，对应的纵坐标分别为 $P M = y_{1}$ 和 $Q N = y_{2}$ 。这样，我们就标记出了位于曲线段 $P Q$ 下方的面积 $P Q N M$ 。现在的问题是，我们该如何计算这块面积的值呢？

解决这个问题的诀窍在于将该面积设想为由许多宽度为 $d x$ 的窄条拼合而成。 $d x$ 取越小，在 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 之间的窄条数量就会越多。显而易见，整个面积等于所有这些窄条面积之和。我们的任务就是找出任意一个窄条面积的表达式，然后通过积分将所有窄条相加。现在想象其中的一个窄条，它就像这样：左右由两条垂直边围成，底部是宽度为 $d x$ 的平底，顶部是微弯的倾斜部分。假设我们取其平均高度为 $y$ ；由于其宽度为 $d x$ ，因此它的面积将为 $y d x$ （见下一张图）。考虑到我们可以将宽度取得任意窄，只要取得足够窄，它的平均高度就会与其中点处的高度相同。现在，我们将整个区域的未知面积记作 $S$ （代表面积 Surface）。单个窄条的面积只是整个面积中的一小部分，因此可以记作 $d S$ 。于是我们可以写出 $1 个窄条的面积 = d S = y \cdot d x .$

Figure 2 图 2 图 19.2

如果我们将所有窄条累加起来，就得到 $总面积 S = \int d S = \int y d x .$

也就是说，我们能否求出 $S$ ，取决于我们在已知 $y$ 为 $x$ 的函数时，能否对 $y \cdot d x$ 进行积分。

例如，如果告诉你该特定曲线的方程为 $y = b + a x^{2}$ ，毫无疑问，你可以将这个值代入表达式，并说：那么我必须求出 $\int (b + a x^{2}) d x$ 。

这样说固然没错，但稍微思考一下就会发现，我们还必须多做一步。因为我们要找的并不是整条曲线下方的面积，而是左侧受限于 $P M$ 、右侧受限于 $Q N$ 的面积，因此我们必须在这些“边界（积分限）”之间界定我们的面积。

这向我们引入了一个新概念，即在区间限之间进行积分。我们假设 $x$ 是变量，就目前而言，我们不需要任何低于 $x_{1}$ （即 $O M$ ）的 $x$ 值，也不需要任何高于 $x_{2}$ （即 $O N$ ）的 $x$ 值。当一个积分需要在两个限值之间定义时，我们把较小的那个值称为下限，把较大的那个值称为上限。任何具有这种限制的积分，我们都称之为定积分，以便与未指定积分限的不定积分（即微分的逆运算）相区别。

在指示积分的符号中，积分限分别标在积分号的顶部和底部。因此，指令 $\int_{x = x_{1}}^{x = x_{2}} y \cdot d x$ 的读法为：求 $y \cdot d x$ 在下限 $x_{1}$ 到上限 $x_{2}$ 之间的积分。

有时可以写得更简单 $\int_{x_{1}}^{x_{2}} y \cdot d x .$ 那么，当得到这些指令时，你该如何求得区间限之间的积分呢？

再看一下本章的第一幅图。假设我们可以求出从 $A$ 到 $Q$ （即从 $x = 0$ 到 $x = x_{2}$ ）这一大段曲线下方的面积，记为面积 $A Q N O$ 。然后，假设我们可以求出从 $A$ 到 $P$ （即从 $x = 0$ 到 $x = x_{1}$ ）这一小段曲线下方的面积，记为面积 $A P M O$ 。如果我们用大面积减去小面积，就会剩下所需的面积 $P Q N M$ 。这里我们找到了解决问题的线索：两个积分限之间的定积分，就是上限处的积分值与下限处的积分值之差。

让我们开始计算。首先，求出如下一般积分： $\int y d x,$ 由于曲线方程为 $y = b + a x^{2}$ （图 19.1），因此我们需要求出的一般积分为 $\int (b + a x^{2}) d x$ 。

根据运算法则进行积分，我们得到 $b x + \frac{a}{3} x^{3} + C;$ 这将是自 $0$ 到我们指定的任意 $x$ 值的整个面积。

因此，直至上限 $x_{2}$ 的较大面积为 $b x_{2} + \frac{a}{3} x_{2}^{3} + C;$ 直至下限 $x_{1}$ 的较小面积为 $b x_{1} + \frac{a}{3} x_{1}^{3} + C .$

现在，用较大面积减去较小面积，即可得到面积 $S$ 的值： $面积 S = b (x_{2} - x_{1}) + \frac{a}{3} (x_{2}^{3} - x_{1}^{3}) .$

这正是我们想要的答案。让我们代入一些数值。假设 $b = 10$ ， $a = 0.06$ ， $x_{2} = 8$ 且 $x_{1} = 6$ 。那么面积 $S$ 等于：\begin{gathered} 10(8 - 6) + \frac{0.06}{3} (8^3 - 6^3) \\ \end{gathered}

让我们用一个符号公式来表示关于积分限的这一结论： $\int_{x = x_{1}}^{x = x_{2}} y d x = y_{2} - y_{1},$ 其中 $y_{2}$ 是与 $x_{2}$ 对应的 $y d x$ 积分值， $y_{1}$ 是与 $x_{1}$ 对应的积分值。

所有在区间限之间的积分都需要这样求出两个值之间的差值。还要注意，在进行减法时，常数 $C$ 已经抵消消失了。

总之，符号 ${[\int y d x]}_{x_{1}}^{x_{2}}$ 表示分别在 $x = x_{2}$ 和 $x = x_{1}$ 时求出 $\int y d x$ 的值，并用前者减去后者。

示例

Example 1.

例 19.1. 为了熟悉这个计算过程，我们先来看一个已知答案的例子。让我们求下图中底边 $x = 12$ 、高 $y = 4$ 的三角形面积。我们从最显然的几何公式中已经知道，答案应当是 $24$ 。

在这里，我们作为“曲线”的是一条倾斜的直线，其方程为： $y = \frac{x}{3} .$

所求面积将是： $\int_{x = 0}^{x = 12} y \cdot d x = \int_{x = 0}^{x = 12} \frac{x}{3} \cdot d x .$

对 $\frac{x}{3} d x$ 进行积分，并将该不定积分放入方括号中，在方括号的右上下角分别标记积分限，可得： $面积答$

让我们通过一个简单的例子来验证这一有些令人惊讶的计算妙招。找一些坐标纸（最好是每边画有八分之一英寸或十分之一英寸小方格的坐标纸）。在坐标纸上画出以下方程的图象： $y = \frac{x}{3} .$

需要绘制的数值点为： $\begin{array}{ccccccc} x & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 \\ y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}$

图表如下。

现在，通过数直线下方的小方格来计算曲线下方的面积，范围从最左边的 $x = 0$ 一直到最右边的 $x = 12$ 。共有 $18$ 个完整的方格和四个三角形，每个三角形的面积等于 $1 \frac{1}{2}$ 个方格；或者说总共 $24$ 个方格。因此， $24$ 是 $\frac{x}{3} d x$ 在下限 $x = 0$ 到上限 $x = 12$ 之间的积分数值。

作为进一步的练习，请证明同一个积分在 $x = 3$ 到 $x = 15$ 的积分限之间的值为 $36$ 。

Example 2.

例 19.2. 求曲线 $y = \frac{b}{x + a}$ 在 $x = x_{1}$ 和 $x = 0$ 之间的面积（见下图）。

解。 $面积答$

注意—请注意，在处理定积分时，积分常数 $C$ 总是在相减时被消去。

请注意，这种从较大区域中减去一部分以求出差值的过程其实是一种十分常用的方法。你该如何求一个平面圆环（见下图）的面积呢？已知该圆环的外半径为 $r_{2}$ ，内半径为 $r_{1}$ 。从几何学中你已经知道外圆的面积是 $π r_{2}^{2}$ ；然后你求出内圆的面积为 $π r_{1}^{2}$ ；接着你用前者减去后者，得到圆环面积 $= π (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})$ ；也可以写成 $π (r_{2} + r_{1}) (r_{2} - r_{1})$ $= 圆环的平均周长 \times 圆环的宽度$ 。

Figure 3 图 3 图 19.6

Example 3.

例 19.3. 这里还有另一个例子——关于指数衰减曲线。求方程为如下形式的曲线（见下图）在 $x = 0$ 和 $x = a$ 之间的面积：

解。 $面积 = b \int_{x = 0}^{x = a} e^{- x} \cdot d x .$ 由积分（见此处）可得：

Example 4.

例 19.4. 另一个例子是理想气体的绝热膨胀曲线，其方程为 $p v^{n} = c$ ，其中 $p$ 代表压强， $v$ 代表体积， $n$ 的值为 $1.42$ （见下图）。

求气体在体积从 $v_{2}$ 变到 $v_{1}$ 时曲线下方的面积（该面积与骤然压缩气体时所作的功成正比）。

解。 $面积$

圆盘面积

Example 5.

例 19.5. 证明常用的求积公式：半径为 $R$ 的圆，其面积 $A$ 等于 $π R^{2}$ 。

解。考虑一个宽度为 $d r$ 、距离圆心为 $r$ 的面积微元环（见下图）。我们可以将整个圆面看作由无数个这样的窄圆环组成，那么整个圆面积 $A$ 就是所有这些微元环面积自圆心到边缘的积分，即自 $r = 0$ 积到 $r = R$ 。

因此我们需要找出窄环微元面积 $d A$ 的表达式。我们可以将该微元环想象为一个宽度为 $d r$ 、长度等于半径为 $r$ 的圆周长（即长度为 $2 π r$ ）的纸条。于是我们得到窄环面积： $d A = 2 π r d r .$

因此，整个圆的面积为： $A = \int d A = \int_{r = 0}^{r = R} 2 π r \cdot d r = 2 π \int_{r = 0}^{r = R} r \cdot d r .$

而 $r \cdot d r$ 的一般积分为 $\frac{1}{2} r^{2}$ 。因此： $A = 2 π {[\frac{1}{2} r^{2}]}_{r = 0}^{r = R};$ 或者 $A = 2 π [\frac{1}{2} R^{2} - \frac{1}{2} (0)^{2}];$ 从而得到 $A = π R^{2} .$

函数的平均值（或均值）

Example 6.

例 19.6. 让我们计算曲线 $y = x - x^{2}$ 的正半部分（如下图所示）的平均纵坐标（平均 $y$ 值）。

解。要找到平均纵坐标，我们需要先求出区域 $O M N$ 的面积，然后除以底边 $O N$ 的长度。但在求面积之前，我们必须确定底边的长度，以便知道积分的上限。在点 $N$ 处，纵坐标 $y$ 的值为零；因此，我们必须观察方程，看看什么样的 $x$ 值能使 $y = 0$ 。显然，如果 $x$ 是 $0$ ， $y$ 也是 $0$ ，曲线通过原点 $O$ ；另外，如果 $x = 1$ ， $y = 0$ ；这就给出了点 $N$ 的位置。

那么，所需的面积为： $面积$

而底边长度为 $1$ 。

因此，该曲线的平均纵坐标 $= \frac{1}{6}$ 。

[注意—通过微分来确定最大纵坐标的高度，将会是关于最大值与最小值部分一个非常有趣且简单的练习。它必然大于平均值。]

任意曲线在范围 $𝒙 = 𝒙_{1}$ 到 $𝒙 = 𝒙_{2}$ 之间的平均（或均值）纵坐标由以下表达式给出： $平均$

极坐标下的面积

当区域边界的方程给出为到固定点 $O$ （称为极点，见下图）的距离 $r$ 与 $r$ 同 $x$ 轴正方向夹角的函数时，刚刚解释的计算过程同样可以非常轻松地应用，只需做很小的修改。此时我们不考虑面积窄条，而是考虑一个在 $O$ 处夹角为 $d θ$ 的微小三角形 $O A B$ ，然后我们将构成所需面积的所有这些微小三角形累加起来。

Figure 4 图 4 图 19.11

这样一个微小三角形的面积近似为 $\frac{A B}{2} \times r$ 或 $\frac{r d θ}{2} \times r$ ；因此，在与角度 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 对应的两个极径位置之间所围成的面积由以下公式给出： $面积$

注意— 在上述公式中， $θ$ 必须用弧度制表示。

示例

Example 7.

例 19.7. 求在半径为 $a$ 英寸的圆中，张角为 $1$ 弧度的扇形面积（见下图）。

解。圆的极坐标方程显然是 $r = a$ 。面积为 $\frac{1}{2} \int_{θ = θ_{1}}^{θ = θ_{2}} a^{2} d θ = \frac{a^{2}}{2} \int_{θ = 0}^{θ = 1} d θ = \frac{a^{2}}{2} .$

Example 8.

例 19.8. 求曲线（被称为“帕斯卡蜗线”）第一象限的面积，其极坐标方程为 $r = a (1 + \cos θ)$ （见下图）。

解。 $面积$

积分求体积

我们对表面微元窄条面积所做的计算，显然也完全可以应用到求一个几何体的微元薄片体积上。我们可以将构成整个几何体的所有微元薄片体积相加起来求其总体积，正如我们将构成面积的所有微小碎块累加起来以求得最终图形面积一样。

示例.

Example 9.

例 19.9. 求半径为 $R$ 的球体体积。

解。 方法 (a)。 一个薄球壳的体积为 $4 π r^{2} d r$ （见图 19.9）；将构成球体的所有同心球壳体积相加，我们得到： $球体体积 = \int_{r = 0}^{r = R} 4 π r^{2} d r = 4 π {[\frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{R} = \frac{4}{3} π R^{3} .$

方法 (b)。 我们也可以按如下方式进行：厚度为 $d x$ 的球体薄圆盘片的体积为 $π y^{2} d x$ 。这个薄圆盘是由旋转图 19.14 中所示厚度为 $d x$ 的窄条绕 $x$ 轴旋转而成的（见图 19.15）。该窄条的长度 $y$ 与其到原点的距离 $x$ 的关系满足 $y^{2} = R^{2} - x^{2} .$ 因此： $球体体积$

Example 10.

例 19.10. 求曲线 $y^{2} = 6 x$ 绕 $x$ 轴旋转在 $x = 0$ 和 $x = 4$ 之间生成的旋转体体积。

解。旋转薄条生成的薄圆盘体积为 $\pi y^2\, dx）（见下图）。</p> <p>因此：___MATH_BLOCK_35___</p> <iframe title="draw-chart" src="https://adaptivebooks.org/InteractiveGraphs/Area-Disk2.html" width="100%" height="400px" allowtransparency="true" style="background-color: rgb(255, 255, 255);"></iframe> <figure class="image image_resized" style="max-width:450px;" id="fig:Area-Disk2"> <img src="/book-images/CME/Area-Disk2.svg"> <figcaption>图 19.16</figcaption> </figure></span> </div> <h2 id="block-blk-l2oqhsu0z">关于方均根（二次平均值）</h2> <p id="block-blk-vyj3ly9dx">在某些物理学分支中，特别是在交变电流的研究中，需要能够计算一个变量的<em>二次平均值（方均值）</em>。所谓“二次平均值”，是指在所考虑的极限范围内，所有数值平方的平均值的平方根。一个量的二次平均值的其他名称还有它的“有效”值，或者它的“<span class="smallcaps">RMS</span>”（意为方均根，即 root-mean-square）值。若 \(y$ 是所考虑的函数，并且二次平均值是在 $x = 0$ 到 $x = L$ 的区间限内取值，那么该二次平均值表示为： $的方均根$

示例.

Example 11.

例 19.11. 求函数 $y = a x$ 的方均根（见下一张图）。

解。这里的积分是 $\int_{0}^{L} a^{2} x^{2} d x$ ，即 $\frac{1}{3} a^{2} L^{3}$ 。

除以 $L$ 并开平方根，我们得到： $方均根 = \frac{1}{\sqrt{3}} a L .$

这里的算术平均值是 $\frac{1}{2} a L$ ；方均根与算术平均值之比（该比值称为波形因数）为 $\frac{2}{\sqrt{3}} = 1.155$ 。

Example 12.

例 19.12. 求函数 $y = x^{a}$ 的方均根。

解。积分为 $\int_{x = 0}^{x = L} x^{2 a} d x$ ，即 $\frac{L^{2 a + 1}}{2 a + 1}$ 。

因此： $\begin{matrix} 方均根 = \sqrt{\frac{L^{2 a}}{2 a + 1}} . \end{matrix}$

Example 13.

例 19.13. 求函数 $y = a^{\frac{x}{2}}$ 的方均根。

解。积分为 $\int_{x = 0}^{x = L} (a^{\frac{x}{2}})^{2} d x$ ，即 $\int_{x = 0}^{x = L} a^{x} d x$ ，或 $\begin{gathered; \left[ \frac{a^x}{\ln a} \right]^{x=L}_{x=0}, \end{gathered}$ 其值为 $\frac{a^{L} - 1}{\ln a}$ 。

因此，方均根为 $\sqrt{\frac{a^{L} - 1}{L \ln a}}$ 。

练习题

Exercise 1.

练习 19.1. 求曲线 $y = x^{2} + x - 5$ 在 $x = 0$ 和 $x = 6$ 之间的面积，以及在此区间限之间的平均纵坐标（平均 $y$ 值）。

答案

面积 = 60

；

平均纵坐标 = 10

。

解析

$面积$

$平均 y = \frac{\int_{0}^{6} (x^{2} + x - 6) d x}{6 - 0} = \frac{60}{6} = 10 .$

Exercise 2.

练习 19.2. 求抛物线 $y = 2 a \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 和 $x = a$ 之间的面积。并证明该面积是限定纵坐标与横坐标所组成矩形面积的三分之二。

答案

面积 = \frac{2}{3}

的

a \times 2 a \sqrt{a}

。

解析

$曲线下方面积$

$矩形面积$

$曲线下方面积矩形面积$

Exercise 3.

练习 19.3. 求正弦曲线正半部分的面积和平均纵坐标。

答案

面积 = 2

；

平均纵坐标 = \frac{2}{π} \approx 0.637

。

解析

$所显示区域的面积平均$

Exercise 4.

练习 19.4. 求曲线 $y = \sin^{2} x$ 的正半部分（ $0 \leq x \leq π$ ）的面积并求其平均纵坐标。

答案

面积 = \frac{π}{2} \approx 1.57

；

平均纵坐标 = 0.5

。

解析

本题求解的是阴影部分的面积：

$面积$

$平均$

Exercise 5.

练习 19.5. 求曲线两个分支 $y = x^{2} \pm x^{\frac{5}{2}}$ 在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 之间所夹的面积，并求该曲线下分支正部分的面积（参见图 11.12）。

答案

\frac{4}{7} \approx 0.571

，

\frac{1}{21} \approx 0.0476

。

解析

$面积$

Exercise 6.

练习 19.6. 求底面半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥体体积。

答案

体积 = π r^{2} \frac{h}{3}

。

解析

如果直线 $y = \frac{r}{h} x$ 绕 $x$ 轴旋转，就会生成一个底面半径为 $r$ 、高为 $h$ 的圆锥体。

我们只需要计算这个旋转体的体积。

该薄圆盘片的体积为 $π {(\frac{r}{h} x)}^{2} d x$ 。

因此，如果我们将这些薄圆盘的体积加起来，就得到了该立体（圆锥体）的体积：

$体积$

Exercise 7.

练习 19.7. 求曲线 $y = x^{3} - \ln x$ 在 $x = 0$ 到 $x = 1$ 之间的面积。

答案

1.25

。

解析

$面积 = \int_{0}^{1} (x^{3} - \ln x) d x = \int_{0}^{1} x^{3} d x - \int_{0}^{1} \ln x d x$

我们已经学过 $\int \ln x d x = x \ln x + x$ 。因此：

$面积 = {[\frac{1}{4} x^{4} - x \ln x + x]}_{0}^{1}$

注意，我们不能直接将 $x = 0$ 代入 $\frac{1}{4} x^{4} - x \ln x + x$ ，因为 $\ln 0$ 没有定义。然而，如果 $x$ 为正且非常接近 $0$ ，那么 $x \ln x$ 也非常接近 $0$ 。因此：

$面积$

Exercise 8.

练习 19.8. 求曲线 $y = \sqrt{1 + x^{2}}$ 绕 $x$ 轴旋转，在 $x = 0$ 到 $x = 4$ 之间生成的体积。

答案

\frac{76}{3} π \approx 79.6

。

解析

总体积为：

Exercise 9.

练习 19.9. 求正弦曲线绕 $x$ 轴旋转（ $0 \leq x \leq π$ ）生成的体积。

答案

体积 = \frac{π^{2}}{2} \approx 4.9348

。

解析

Exercise 10.

练习 19.10. 求曲线 $x y = a$ 在 $x = 1$ 到 $x = a$ 之间图形的面积。求这些限之间的平均纵坐标。

答案

a \ln a

，

\frac{a}{a - 1} \ln a

。

解析

$面积$

$平均$

Exercise 11.

练习 19.11. 证明函数 $y = \sin x$ 在 $0$ 到 $π$ 弧度区间限内的方均根为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。并求该函数在相同区间限内的算术平均值；证明其波形因数 $= 1.11$ 。

解析

回顾一下： $方均根 = \sqrt{\frac{1}{π} \int_{0}^{L} y^{2} d x}$

因此：

$方均根$

$算术平均值$

$波形因数 \approx \frac{0.707}{0.637} \approx 1.11$

Exercise 12.

练习 19.12. 求函数 $x^{2} + 3 x + 2$ 在 $x = 0$ 到 $x = 3$ 之间的算术平均值与方均根。

答案

算术平均值 = 9.5

；

方均根 \approx 10.85

。

解析

$算术平均值$

$方均根$

Exercise 13.

练习 19.13. 求函数 $y = A_{1} \sin x + A_{3} \sin 3 x$ （ $0 \leq x \leq 2 π$ ）的方均根和算术平均值。

答案

方均根 = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{A_{1}^{2} + A_{3}^{2}}

；

算术平均值 = 0

。

解析

方均根 $= \sqrt{\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {(A_{1} \sin x + A_{3} \sin 3 x)}^{2} d x}$

要计算此式，我们展开该表达式。也就是说，我们计算：

$\int_{0}^{2 π} (A_{1}^{2} \sin^{2} x + 2 A_{1} A_{3} \sin x \sin 3 x + A_{3}^{2} \sin^{2} 3 x) d x$

现在我们逐项进行积分。首先：

为了计算该项，我们利用积化和差公式：

$\sin M \sin N = \frac{1}{2} [\cos (M - N) - \cos (M + N)]$

因此：

现在计算最后一项：

因此，方均根为：

$算术平均值$

Exercise 14.

练习 14. 已知一条曲线的方程为 $y = 3.42 e^{0.21 x}$ 。求该曲线与 $x$ 轴之间在 $x = 2$ 处的纵坐标到 $x = 8$ 处的纵坐标之间图形的面积。求这些点之间曲线的平均纵坐标高度。

答案

面积约为

62.6

平方单位。平均纵坐标约为

10.43

。

解析

$面积平均纵坐标$

Exercise 15.

练习 15. 证明：当一个圆的面积等于极坐标图形面积的两倍时，该圆的半径等于该极坐标图形所有极径值 $r$ 的方均根。

解析

$圆面积 = π R^{2} = 2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ$

r 的方均根 $= \sqrt{\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} r^{2} d θ}$

$= \sqrt{\frac{1}{2 π} π R^{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} .$

Exercise 16.

练习 16. 求曲线 $y = \dots \frac{x}{6} \sqrt{x (10 - x)}$ 绕 $x$ 轴旋转生成的体积。

答案

436.3

。(该旋转体是梨形的。)

解析