积分技巧

A. 分部积分法

回忆一下法则。现在假设我们试图求不定积分

\int h (x) d x,

其中 $h (x)$ 可以写成的形式。也许求

比求

\int h (x) d x .

更容易。由线性性，

即

也就是

因此， $h (x)$ 的一个不定积分可以通过从 $f (x) g (x)$ 中减去的一个不定积分来求得。

例题

例 1.

\int x \sin x d x .

令 $f (x) = x$ ， $g (x) = - \cos x$ 。则，，代入得

例 2.

\int \log x d x .

令 $f (x) = \log x$ ， $g (x) = x$ 。则，，且

\int \log x d x = x \log x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x = x \log x - x .

例 3.

有时需要多次执行这一步骤。经常会发生这样的情况：原积分会以不等于 1 的系数再次出现，此时我们就可以把它解出来。例如，考虑 $\int e^{x} \sin x d x .$ 令 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = - \cos x$ 。则

\int e^{x} \sin x d x = - e^{x} \cos x + \int e^{x} \cos x d x .

在 $\int e^{x} \cos x d x$ 中，令 $h (x) = e^{x}$ ， $k (x) = \sin x$ 。则，于是我们有

\int e^{x} \cos x d x = e^{x} \sin x - \int e^{x} \sin x d x .

因此

\int e^{x} \sin x d x = - e^{x} \cos x + e^{x} \sin x - \int e^{x} \sin x d x .

解出 $\int e^{x} \sin x d x$ ，我们得到

\int e^{x} \sin x d x = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) .

注意。 如果在第二步我们使用了，其中 $h (x) = \cos x$ ， $k (x) = e^{x}$ ，那么得到的将是一个平凡的恒等式；因此，如果得到这样的等式，就应该尝试另一种分解方式。

B. 换元积分法

某些积分如果用一个新变量替换原变量就会变得简单得多。这里我们用一个新变量代替旧变量，该新变量在积分范围内是旧变量的严格单调递增或递减的可微函数。如果 $u$ 是新变量， $x$ 是旧变量，那么根据反函数的求导法则，我们有。

假设我们要找一个不定积分 $\int f (x) d x$ 。也就是说，我们要找一个函数 $F (x)$ 使得。可能 $x$ 是某个新变量 $u$ 的严格单调递增或递减的可微函数，比如说 $x = x (u)$ ，使得 $f (x (u))$ （我们称之为 $g (u)$ ）是一个更易积分的函数。那么我们可以尝试找一个函数 $G (u)$ 使得。如果 $u (x)$ 是 $x (u)$ 的反函数，我们可以尝试 $H (x) = G (u (x))$ 作为原问题的答案。但是

它与 $f (x)$ 相差一个因子。因此，我们改为尝试找一个函数 $G (u)$ 使得。然后令 $F (x) = G (u (x))$ 。于是我们有

即 $F (x)$ 就是所需类型的函数。

有一个便于记忆这个计算的正式方法，如下：在 $\int f (x) d x$ 中，写成 $d x = \frac{d x}{d u} \cdot d u$ 。如果 $f (x) = g (u)$ ，那么

\int f (x) d x = \int g (u) \cdot \frac{d x}{d u} \cdot d u .

当然，右边的答案是 $u$ 的函数，随后我们必须用 $x$ 来替换 $u$ 。注意右边的积分正是，即我们的 $G (u)$ 。下面几个例子将说明这一技巧。

例题

例 4.

\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x .

令 $u = e^{x}$ ， $x = \log u$ 。则。于是我们必须求

\int \frac{u}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u = \arctan u .

因此，我们想要的不定积分是 $\arctan (e^{x})$ 。

例 5.

\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x .

令 $x = \sin u$ （这是可行的，因为 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 只有在 $- 1 < x < 1$ 时才有定义）。则

且 $\sqrt{1 - x^{2}} = \cos u$ ，因为当 $u$ 在 $\arcsin x$ 的值域内时 $- \frac{π}{2} < u < \frac{π}{2}$ 。于是我们必须求

现在令 $v = \cos u$ 。则，，于是我们至少在 $0 < u < \frac{π}{2}$ $(* *)$ 的范围内有

因此

\int \sin^{3} u d u = - \cos u + \frac{\cos^{3} u}{3},

且

由于这个函数确实在 $- 1 < x < 1$ 时以 $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 为导数，我们在该过程中的那些点（例如 (**)）并没有丢失任何东西，即使在那里我们可能会丢失。

C. 部分分式

假设我们想求 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 的一个不定积分，其中 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是多项式（这类函数称为有理函数）。我们可以假设 $f (x)$ 的次数（出现的 $x$ 的最高次幂）小于 $g (x)$ 的次数；因为如果不是这样，我们可以用 $g (x)$ 去除 $f (x)$ ，得到

\frac{f (x)}{g (x)} = P (x) + \frac{h (x)}{g (x)},

其中 $P (x)$ 是多项式，而 $h (x)$ （ $f (x)$ 除以 $g (x)$ 的余式）的次数小于 $g (x)$ 的次数。我们还假设可以把 $g (x)$ 分解为形如 $(x - a)$ 和 $x^{2} + b x + c$ （ $b^{2} - 4 c < 0$ ）的多项式的乘积。（尽管通常很难确定这些 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，但这样做总是可能的。）一旦完成了这个因式分解，我们就开始一个使我们能够积分 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 的步骤。

我们要做的是把 $g (x)$ 中上述形式的因式分开，并尝试把 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 写成多项式商的和。分母将是 $g (x)$ 的各个因式，而分子的次数将小于相应分母的次数。如果因式 $x - a$ 或 $x^{2} + b x + c$ 整除 $g (x)$ 不止一次，比如说 $n$ 次，我们就必须允许有 $n$ 项，对幂次 $1, 2, \dots, n$ 中的每一个都有一项以该因式为分母。在每一项中，仍然可以假设分子是常数或一次式（当分母是 $x^{2} + b x + c$ 的幂时）。例如，如果我们有形如

\frac{d x^{3} + e x^{2} + f x + g}{(x^{2} + b x + c)^{2}} = \frac{d x^{3} + e x^{2}}{(x^{2} + b x + c)^{2}} + \frac{f x + g}{(x^{2} + b x + c)^{2}},

的表达式，我们可以用 $x^{2} + b x + c$ 去除 $d x^{3} + e x^{2}$ ，得到一个一次商 $P (x)$ 和一个次数至多为 1 的余式 $R (x)$ 。则

\frac{d x^{3} + e x^{2}}{(x^{2} + b x + c)^{2}} = \frac{P (x)}{x^{2} + b x + c} + \frac{R (x)}{(x^{2} + b x + c)^{2}},

于是该表达式就化成了我们将要考虑的形式。

令 $g (x) = (x - a_{1})^{m_{1}} \dots (x - a_{r})^{m_{r}} (x^{2} + b_{1} x + c_{1})^{n_{1}} \dots (x^{2} + b_{s} x + c_{s})^{n_{s}}$ 。令 $n = m_{1} + \dots + m_{r} + 2 n_{1} + \dots + 2 n_{s}$ 。则 $f (x)$ 的次数小于 $n$ ，我们可以写成 $f (x) = d_{n - 1} x^{n - 1} + d_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + d_{1} x + d_{0}$ ，其中某些 $d$ 可能为 0。现在我们尝试写成

这里 $A, B, C$ 是未知数，总共有

m_{1} + \dots + m_{r} + 2 n_{1} + \dots + 2 n_{s} = n

个。如果我们把等式右边通分成一个公分母，这个分母就是 $g (x)$ 。因此分子必定是 $f (x)$ ；所以分子的常数项必须是 $d_{0}$ ， $x$ 的系数必须是 $d_{1}$ ，等等。这给我们 $n$ 个关于 $n$ 个未知数 $A, B, C$ 的方程，我们可以求解它们。把这些解代入等式右边后，剩下的只是逐项积分该表达式。现在

由于 $x^{2} + b x + c = {(x + \frac{b}{2})}^{2} + (c - \frac{b^{2}}{4})$ ， $c - \frac{b^{2}}{4} > 0$ ，我们可以用 $x + \frac{b}{2}$ 替换 $x$ ，并假设 $x^{2} + b x + c$ 就是 $x^{2} + c$ （ $c > 0$ ）的形式。

而

\int \frac{1}{(x^{2} + c)^{n}} d x

可以通过代换 $x = \sqrt{c} \tan u$ ，即 $u = \arctan (\frac{x}{\sqrt{c}}) .$ 来处理。

例题

例 6.

\int \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} d x .

则

\frac{1}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 3},

即

\frac{(A + B) x + (3 A - 2 B)}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} .

于是 $A + B = 0$ ， $3 A - 2 B = 1$ ， $A = \frac{1}{5}$ ， $B = - \frac{1}{5}$ ，且

\int \frac{1}{(x - 2) (x + 3)} d x = \frac{1}{5} \log (x - 2) - \frac{1}{5} \log (x + 3) .

例 7.

\int \frac{4 x + 3}{(x - 1) (x^{2} + 2)^{2}} d x .

写成

\frac{4 x + 3}{(x - 1) (x^{2} + 2)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2} + \frac{D x + E}{(x^{2} + 2)^{2}} .

我们得到方程组

A + B = 0 （ x^{4} 的系数）

- B + C = 0 （ x^{3} 的系数）

4 A + 2 B - C + D = 0 （ x^{2} 的系数）

- 2 B + 2 C - D + E = 4 （ x 的系数）

4 A - 2 C - E = 3 （常数项）。

它们给出：

A = \frac{7}{9}, B = - \frac{7}{9} = C, D = - \frac{7}{3}, E = \frac{5}{3} .

因此我们必须求

在最后一个积分中，令 $x = \sqrt{2} \tan u$ 。则，我们必须求

\int \frac{1}{4 \sec^{4} u} \cdot \sqrt{2} \sec^{2} u d u = \int \frac{1}{(x^{2} + 2)^{2}} d x,

即

\frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \cos^{2} u d u .

现在 $\cos 2 u = 2 \cos^{2} u - 1$ ，即 $\cos^{2} u = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 u)$ 。于是我们必须求

完整的答案就是

通过适当的代换，可以把 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理函数的积分化为一个新变量 $u$ 的有理函数的积分问题。技巧在于令 $u = \tan \frac{x}{2}$ 。则 $x = 2 \arctan u$ ，且

另外，

\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{\sec^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 u}{1 + u^{2}},

且

例如，

\int \frac{1}{\sin x + \cos x} d x = \int \frac{1}{\frac{2 u}{1 + u^{2}} + \frac{1 - u^{2}}{1 + u^{2}}} \cdot \frac{2}{1 + u^{2}} d u

= \int \frac{2}{2 u + 1 - u^{2}} d u .

现在 $2 u + 1 - u^{2} = - (u - (1 + \sqrt{2})) (u - (1 - \sqrt{2}))$ ，我们可以应用部分分式的技巧来完成这项工作。

习题

习题 1.

Courant：第 225 页，习题 1-11；第 234 页，习题 1-14。

Oakley：第 100 页，习题 1-12。

Sherwood 与 Taylor，《微积分》（Calculus），第 1 版：第 202、206、215、218、222、229、231、377、380 页。