定积分

设 $y = f (x)$ 是在 $a ≦ x ≦ b$ 上连续的函数。我们绘制它的图像；例如，它可能如下一页的图所示。

现在我们来定义一个数，我们称之为 $f (x)$ 从 a 到 b 的（定）积分，并记作

\int_{a}^{b} f (x) d x,

定义如下：

考虑由 $y = f (x)$ 的图像、x 轴、直线 $x = a$ 和直线 $x = b$ 所围成的面积。如果这部分面积位于 x 轴上方，我们将其视为正的。如果一部分位于 x 轴下方，我们将其视为负的。这样我们就有了图中所示的符号安排。

于是我们定义

\int_{a}^{b} f (x) d x

就是这些面积的代数和，并带上相应的符号。

如果 $b ≦ a$ ，我们定义

\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x,

因为

\int_{b}^{a} f (x) d x

已经按上述方式定义了。特别地，我们有

\int_{a}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{a} f (x) d x,

即

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0.

此外，如果 $a, b, c$ 是任意三个数，且 $f (x)$ 在包含它们的最小区间上连续，那么

\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x .

如果 $a ≦ b ≦ c$ ，这一点从定义来看是显然的。至于其他情形的验证，留作练习。

现在假设 $x$ 在区间 $a ≦ t ≦ b$ 内。那么

\int_{a}^{x} f (t) d t

已经被定义，此时我们把 $x$ 暂时看作固定的，并用 $t$ 表示我们的变量。我们把它看作一个函数 $F (x)$ 。那么 $F (x)$ 的差商为

这是根据上面的说明得出的。

现在设 $M$ 是 $f (t)$ 在 $x$ 与 $x + h$ 之间的区间上的最大值， $m$ 是其最小值。那么我们断言，如果 $h > 0$ ，则

M h ≧ \int_{x}^{x + h} f (t) d t ≧ m h,

即

M ≧ \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t ≧ m .

如果 $h < 0$ ，第一个不等式反向，但第二个仍然成立。我们将在 $f (x) > 0, h > 0$ 的情形下证明这一点。其余情形的思路届时将很清楚。因为 $f (t)$ 是连续的，我们可以假设 $h$ 足够小，使得对于 $x$ 与 $x + h$ 之间的所有 $t$ 都有 $f (t) > 0$ 。于是我们的命题相当于说： $f (t)$ 的图像在 $x$ 与 $x + h$ 之间的面积，介于宽为 $h$ 、高等于 $f (t)$ 在此区间内最小值的矩形面积，与宽为 $h$ 、高等于 $f (t)$ 在该区间内最大值的矩形面积之间，如下一页的图所示。

但由于 $f (t)$ 在 $x$ 处连续，当 $h$ 趋于 0 时，对于 $f (x)$ 与 $f (x + h)$ 之间的所有 $t$ ， $f (t)$ 趋于 $f (x)$ 。由于 $M$ 和 $m$ 是 $f (t)$ 的取值，它们也趋于 $f (x)$ 。因此我们有

f (x) = lim_{h \to 0} M ≧ lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t ≧ lim_{h \to 0} m = f (x);

于是所有这些量都相等，且。

现在我们有了一个计算

\int_{a}^{b} f (t) d t .

的方法。首先我们求出任意一个函数 $G (x)$ ，使得在 $a ≦ x ≦ b$ 上有；这样的函数称为 $f (x)$ 的不定积分或反导数。然后我们知道

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

具有性质。因此 $F (x) = G (x) + c$ ，其中 $c$ 是某个常数。但 $F (a) = 0$ ，所以 $c = - G (a)$ 。于是

\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) = G (b) + c = G (b) - G (a) .

我们常把它简单地写作

\int_{a}^{b} f (x) d x = G (x) |_{a}^{b} = G (b) - G (a) .

这就是著名的微积分基本定理。

这一结果使我们能够解决求面积的问题，这个问题曾困扰希腊数学家数个世纪。他们有一些特殊技巧，这些技巧将扩大我们所能处理的函数类别。

注。我们再次遇到了一个线性运算；如果 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的一个不定积分， $G (x)$ 是 $g (x)$ 的一个不定积分，那么

即 $F (x) + G (x)$ 是 $f (x) + g (x)$ 的一个不定积分。同样， $c F (x)$ 是 $c f (x)$ 的一个不定积分。对于定积分，设 $F (x), f (x), G (x), g (x)$ 和 $c$ 如上，我们有

以及

还要注意， $f (x)$ 的任意两个不定积分仅相差一个常数。

例题

例 1.

\int_{0}^{1} x^{2} d x;

这是抛物线 $y = x^{2}$ 在 $x = 0$ 与 $x = 1$ 之间的面积，如图中阴影部分所示。

为求出它，我们必须找到一个函数 $F (x)$ ，使得。由于，所以我们使用 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。这就是一个不定积分 $F (x)$ ，其面积为

F (1) - F (0) = \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} = \frac{1}{3} .

例 2.

\int_{a}^{b} c d x,

其中 $c$ 是常数。一个不定积分是 $c x$ ，所以我们的答案是 $c b - c a = c (b - a)$ 。这 simply 是以 $y = c$ 、 $y = 0$ 、 $x = a$ 、 $x = b$ 为边的矩形的面积；如果 $c > 0$ 则符号为正，如果 $c < 0$ 则为负。

例 3.

\int_{a}^{b} x^{n} d x,

$n$ 为正整数。 $x^{n + 1}$ 的导数是 $(n + 1) x^{n}$ ，所以 $x^{n}$ 的一个不定积分是

\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} .

结果就是

\frac{1}{n + 1} (b^{n + 1} - a^{n + 1}) .

例 4.

利用线性性，只要 $f (x)$ 是多项式，我们现在就能求出

\int_{a}^{b} f (x) d x

通过考察求导法则，你会看到下面的不定积分是正确的；我们写

\int f (x) d x = F (x)

仅仅表示 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的一个不定积分，即：

$\int e^{x} d x = e^{x};$
$\int \cos x d x = \sin x;$
$\int \sin x d x = - \cos x;$
$\int \sec^{2} x d x = \tan x;$
$\int x^{b} d x = \frac{1}{b + 1} x^{b + 1},$ $b$ 为正有理数；
$\int a^{x} d x = \frac{1}{\log a} \cdot a^{x},$ $a > 0.$

在法则 1) 和 6) 中，我们仍在讨论一些我们尚未真正了解的函数。同样，我们本可以写出

\int \frac{1}{x} d x = \log x,

但这一条和上面的法则，目前只能看作是一些有助于发展技巧的信息。我们将在下一节中用积分来定义 $\log x$ 。

请注意，当我们写

\int_{a}^{b} f (x) d x,

时，除非 $f (x)$ 在整个区间 $a \leq x \leq b$ 上有定义且连续，否则这个表达式对我们来说是没有意义的。因此

\int_{0}^{4} \frac{1}{x} d x

是没有定义的，

\int_{- 1}^{1} \sqrt{x} d x .

也是如此。定积分可以用一种使更多函数落入其定义域的方式来定义（不过这两个函数都不行），但我们不再进一步探讨这个问题。

习题

习题 1.

给出求多项式的不定积分的法则。

习题 2.

Courant，第 119 页，习题 2；第 144 页，习题 11-18。