多元函数

所谓 $n$ 个变量的函数 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，当然指的是一条规则，它把 $n$ 维空间中某个区域内的每个点 $(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, \dots, x_{n}^{(0)})$ 对应到一个单独的数，我们把这个数记作 $f (x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, \dots, x_{n}^{(0)})$ 。让我们暂时考虑两个变量的函数 $f (x, y)$ 。我们可以在三维空间中用图形来表示这个函数，即对函数定义域中的 $(x, y)$ ，描出点集 $(x, y, f (x, y))$ 。但由于在黑板上表示三维空间充其量也是件麻烦事，我们选择为该函数画出“等高线图”；也就是说，我们在黑板上描出使 $f (x, y) = 0$ 的点集 $(x, y)$ ，使 $f (x, y) = 7$ 的点集，或者一般地，描出使 $f (x, y) = a$ 的点集 $(x, y)$ ，其中 $a$ 是 $f (x, y)$ 值域中的任意一个数。一般而言，这些点集将是曲线，习惯上称为 $f (x, y)$ 的等高线（level curves），或者不那么严格地，称为等高线图的等高线（level lines）。这些曲线表示在三维空间中表示该函数的曲面上处于恒定高度上的路径。

例 1.

让我们考虑函数

的等高线图。考虑抛物线 $x = α y^{2}$ 。对于这条曲线上的 $(x, y)$ ，即 $α \neq 0, y \neq 0$ ，我们有

f (x, y) = \frac{α y^{4}}{(α^{2} + 1) y^{4}} = \frac{α}{α^{2} + 1},

即 $f (x, y)$ 是一个常数。通过在方程

\frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}} = β, β \neq 0,

中用 $y$ 解出 $x$ ，我们看到高度为 $β \neq 0$ 的每条等高线恰好是去掉点 $(0, 0)$ 的抛物线 $x = α y^{2}$ 。于是

β = \frac{α}{α^{2} + 1} \cdot

那么哪些数能具有

\frac{α}{α^{2} + 1} ?

这种形式呢？为回答这个问题，我们研究函数

g (α) = \frac{α}{α^{2} + 1}

的最大值和最小值，发现它在 $α = 1$ 时取最大值，在 $α = - 1$ 时取最小值。于是

- \frac{1}{2} \leq \frac{α}{α^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} \cdot

最小高度 $(- \frac{1}{2})$ 的等高线是抛物线 $y = - x^{2}$ ，最大高度 $(+ \frac{1}{2})$ 的等高线是抛物线 $y = x^{2}$ （始终去掉点 $(0, 0)$ ）。于是等高线图看起来就像下一页所示的那样。

注意到，对于任意固定的 $x$ 值，这个函数 $f (x, y)$ 关于 $y$ 是连续的，而且当 $y$ 固定时它关于 $x$ 也是连续的。它沿任何直线也是连续的；也就是说，如果 $(x_{0}, y_{0})$ 是直线上的一个点，那么对于靠近 $(x_{0}, y_{0})$ 且在该直线上的 $(x, y)$ ， $f (x, y)$ 靠近 $f (x_{0}, y_{0})$ 。然而，我们不能称这个函数在 $(0, 0)$ 处连续。因为那意味着，只要 $(x, y)$ 靠近 $(0, 0)$ ， $f (x, y)$ 就会靠近 $f (0, 0) = 0$ 。但是在抛物线 $y = x^{2}$ 上存在离 $(0, 0)$ 任意近的点，而在这些点处 $f (x, y) = \frac{1}{2} \cdot$ 该曲面沿 $y = x^{2}, x \neq 0$ 有一条山脊；沿 $y = - x^{2}, x \neq 0$ 有一条凹谷；沿 $y = 0$ （当 $x > 0$ 时）有一条浅凹谷；沿 $y = 0$ （当 $x < 0$ 时）有一条平缓的山脊。它在 $(0, 0)$ 处有一个间断。

让我们把这些函数的连续性定义得更精确一些，以便我们能明智地讨论它：

如果对于任意正数 $ϵ$ ，我们都能找到 $(x_{0}, y_{0})$ 的一个邻域，使得只要 $(x, y)$ 在这个邻域内，就有

| f (x, y) - f (x_{0}, y_{0}) | < ϵ \cdot

则称 $f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处连续。邻域可以看作以 $(x_{0}, y_{0})$ 为圆心的圆盘，或者以 $(x_{0}, y_{0})$ 为中心的正方形。如果上面讨论的函数在 $(0, 0)$ 处连续，那么想必我们可以取 $ϵ = \frac{1}{4}$ ，并找到一个以 $(0, 0)$ 为圆心的圆，使得对于圆内所有的点 $(x, y)$ ，

| f (x, y) - 0 | < \frac{1}{4} \cdot

但是在每个这样的圆内，我们都能找到抛物线 $x = y^{2}$ 上的点（除 $(0, 0)$ 以外），在这些点处 $f (x, y) = \frac{1}{2} \cdot$ 于是我们将不得不有

\frac{1}{2} = | \frac{1}{2} - 0 | < \frac{1}{4},

这是荒谬的。

例 2.

作为第二个例子（关于它我们稍后还会多说几句），设

（用极坐标 $(r, θ)$ 表示，其中 $x = r \cos θ, y = r \sin θ, f (x, y) = r^{2} \sin 4 θ$ 。）虽然我们不会详细描述等高线，但等高线图大致如下：

等高线图中的 $+$ 号表示画出了等高线的扇形区域，就像标有 $+$ 号的那个扇形一样， $-$ 号所标示的区域类似。因此，如果我们站在 $(0, 0)$ 处，就会看到四条向外倾斜延伸的山谷，与四座山交替排列。这个函数是处处连续的。

习题

习题 1.

对下列每个函数画出等高线图并讨论其连续性：
a) $f (x, y) = x y$ ，
b)