参数形式的曲线。力学基础

下图是一个我们习惯称为曲线的例子，但它不能被描述为某个函数的图像；因为存在一些点，其中多个 $y$ 值对应于同一个 $x$ 值。

那么我们该如何定义曲线以便涵盖这种情况呢？当我们画这条曲线时，我们把铅笔从某一点开始并移动它。经过 $t$ 秒后，铅笔位于曲线上的一个新点 $(x (t), y (t))$ ，而曲线上的任何一点都能在经过某段时间后到达（可能包括在时间上倒退）。此时 $x (t)$ 是 $t$ 的函数，即“时刻 $t$ 铅笔的 $x$ 坐标”，同样地， $y (t)$ 也是 $t$ 的函数。我们以连续的运动画出曲线这一事实，可以用 $x (t)$ 和 $y (t)$ 是连续函数来表述。于是我们便引出如下定义：

定义 1。

$n$ 维空间中的连续曲线是关于单个变量 $t$ 的连续函数的 $n$ 元组 $(x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t))$ 。

函数的图像是一种特殊情形；由 $y = f (x)$ 的图像所描述的曲线，可以通过用 $x$ 充当变量 $t$ 而写成这种“参数形式”。此时曲线是 $(t, f (t))$ 。对于给定的 $t$ ，我们可以把

X (t) = (x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t))

视为 $n$ 维空间中的一个点或一个向量。因此可以对这一量进行向量运算。在我们许多涉及曲线的地方，我们会把 $t$ 视为时间。例如，我们把曲线上一点在时刻 $t$ 的速度定义为

（如果它存在）。我们把时刻 $t$ 的加速度定义为

（如果它存在）。

由于我们实际上无法获得关于加速度的充分直观概念，我们可以认为加速度的定义无需进一步论证。而速度的定义则是“平均速度”的极限情形，如下所示：

在时刻 $t$ ，设曲线上对应的点为 $X (t)$ ；在时刻 $t + h$ ，该点则为 $X (t + h)$ 。如果我们只知道这两个点，那么假设它们之间最简单的运动类型就是以恒定速率的直线运动。这意味着向量 $X (t + h) - X (t)$ 在时间 $h$ 内以恒定速率被走过。这个速率连同其方向由下式给出：

\frac{X (t + h) - X (t)}{h} = (\frac{x_{1} (t + h) - x_{1} (t)}{h}, \dots, \frac{x_{n} (t + h) - x_{n} (t)}{h}) \cdot

于是时刻 $t$ 的速度就是这个平均速度当取平均的时间 $h$ 趋于零时的极限，其结果就是。

我们利用速度来给出曲线的切线的定义： $X (t)$ 在 $t = t_{0}$ 处的切线是过点 $X (t_{0})$ 且平行于 $t_{0}$ 处速度向量（即）的直线。因此它是点集

其中 $s$ 取遍所有数。

利用我们目前已建立的概念，我们可以表述牛顿力学的基本概念，并相当容易地推导出许多重要的结论。首先，我们有一些将称为基本概念的概念；它们是对自然界中可观察的量的数学表述。它们是：

时间（一个数 $t$ ，视为在固定刻度上度量）。
位置（关于时间的向量（或点）函数 $X (t)$ ）。
质量（与给定点或“质点”相关联的一个数 $m > 0$ ）。
力（一个向量 $F$ ）。
由这些，我们导出一些更进一步的概念，定义如下：
速度：
加速度：
动量：
关于点 $P$ 的角动量：（此处及任何使用向量积之处，我们仅讨论 $3$ 维空间）。
动能：
作用在点 $X$ 上的力 $F$ 关于点 $P$ 的矩： $(X - P) \times F \cdot$

这些概念服从某些基本定律，它们实际上就是牛顿的定律。第一条很简单：

I. ，用文字表述为：
作用在 $X (t)$ 处质点上的力等于其质量与加速度的乘积。

其余的定律需要稍多一些的解释。一个力学系统是由位置分别为 $X_{1}$ 、 $X_{2}$ 、 $\dots$ 、 $X_{N}$ 的质点组成的集合，每个位置都依赖于时间，且各质点分别具有质量 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 、 $\dots$ 、 $m_{N}$ 。设 $F_{i}$ 为作用在第 $i$ 个质点上的力。那么由 I，。 $F_{i}$ 由来自系统外部的力 ${\bar{F}}_{i}$ 以及其他“内力” $F_{i j}$ 组成，其中 $F_{i j}$ 是第 $j$ 个质点施加于第 $i$ 个质点的力。于是

F_{i} = {\bar{F}}_{i} + F_{i 1} + F_{i 2} + \dots + F_{i N},

我们可以更简略地写作

F_{i} = {\bar{F}}_{i} + \sum_{j = 1}^{N} F_{i j} \cdot

其余定律涉及 $F_{i j}$ ：

II. $F_{i j} = - F_{j i}$ （“作用等于反作用”；特别地， $F_{i i} = 0$ ）。

III. $F_{i j}$ 平行于 $X_{i} - X_{j}$ ，即一个质点施加于另一个质点的力沿着连接它们的直线作用。

让我们暂时考虑所有外力 ${\bar{F}}_{i}$ 都为零的情形（一个封闭系统）。那么

如果我们把作用在所有质点上的力加起来，就会看到

现在所有 $F_{i i} = 0$ ，而当 $i \neq j$ 时， $F_{i j}$ 和 $F_{j i}$ 中的每一个在右侧的二重和中恰好各出现一次。由于 $F_{i j} = - F_{j i}$ ，它们的和为 $0$ ，因此整个二重和为零。
于是

由于，我们有

即

总动量是一个常数 $A$ 。

于是 $\sum m_{i} X_{i} = A t + B$ ，其中 $B$ 是某个固定向量（我们关于向量值函数的所有结果都可以通过分别考虑各个分量而从普通函数的结果得到）。如果我们令 $m = \sum m_{i}$ 为总质量，并令 $Y$ 为向量 $\frac{1}{m} \sum m_{i} X_{i} = \sum \frac{m_{i}}{m} X_{i}$ ，则有

m Y = A t + B \cdot

点 $Y$ 称为该系统的质心。我们看到

在没有外力的情况下，质心以恒定速度作直线运动。

如果 $X (t)$ 和 $Y (t)$ 是 3 维空间中的向量值函数，验证下式将留作练习：

特别地，

在一个封闭系统中，

于是

让我们再次对所有质点求和。我们将证明

正如我们证明

\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} F_{i j} = 0,

时那样，只需证明当 $i \neq j$ 时每一对项

X_{i} \times F_{i j} 和 X_{j} \times F_{j i}

相互抵消即可。现在 $F_{j i} = - F_{i j},$ ，所以这两项之和为

(X_{i} - X_{j}) \times F_{i j} .

由 III，这等于 $0$ 。于是我们的断言得证。
但是

是总角动量（关于 $0$ ）的导数。因此我们得出结论：

封闭系统的总角动量是一个常数。

（当 $0$ 被替换为任意其他点 $P$ 的情形留作练习。）

现在让我们考虑存在外力 ${\bar{F}}_{i}$ 的情形。由内力之和为 $0$ 这一事实，我们看到

即

也就是说，

总动量的导数等于外力之和。

由于，我们看到系统的质心的运动就如同一个质量为 $m$ 、受到全部外力作用的质点。

此外，

像前面那样求和，

即总角动量的导数等于外力的矩之和。

当只有一个质点时，所有 $F_{i j} = 0$ ，且 ${\bar{F}}_{i}$ 平行于 $X_{i} \cdot$ 我们假设原点是力 ${\bar{F}}_{1} \cdot$ 的源。我们省去指标 $i$ ，因为它已无必要。于是。将此应用于太阳系，并假设作用在行星上唯一不可忽略的力是太阳的引力，我们看到行星关于太阳的角动量的导数为 $0$ ，即它关于太阳的角动量是一个常数。这是开普勒定律的一种表述，即行星以恒定速率扫过面积。