全微分与梯度

设 $f(x,y)$ 是一个二元函数。假设第一个变量 $x$ 改变了 $dx$，第二个变量改变了 $dy$。那么函数在新点的值为 $f(x+dx,y+dy)$。函数值改变量为

这个表达式是四个变量 $x,y,dx,dy$ 的函数。它被称为 $f(x,y)$ 的全微分，简记为 $df$：

全微分通常用“无穷小量”来讨论，这个术语指的是 $dx$ 和 $dy$。然而，从未给出过无穷小量的恰当定义。我们能够处理 $dx$ 和 $dy$ 的唯一方法是把这些量当作数，这正是我们所做的。人们也常写成

其中 $f_x$ 和 $f_y$ 指 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$。我们将看到这实际上只是一个近似公式，并且我们将对其应用中的误差有一些了解。使用这个公式没有任何问题，只要按这种意义来解释它。

现在让我们重新考察全微分。首先，我们把 $df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)$ 写成

然后应用中值定理得到

其中 $\xi$ 介于 $x$ 和 $x+dx$ 之间，$\eta$ 介于 $y$ 和 $y+dy$ 之间。我们假设 $f_x$ 和 $f_y$ 是连续的。那么

其中 $\alpha (dx,dy)$ 当 $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ 趋于零时趋于零（因为 $(x+dx,\eta )$ 位于以 $(x,y),(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy)$ 为顶点的矩形内，所以当矩形的对角线 $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ 趋于 $0$ 时，它趋于 $(x,y)$）。同样地，

当 $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ 趋于 $0$ 时趋于 $0$。我们的公式现在变为

现在，如果 是任意小的正数，我们可以选取 $dx$ 和 $dy$，使得 $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ 足够小，以致 且 ，因为这正是“这些量当 $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ 趋于零时趋于零”这一陈述的含义。那么我们有

现在 $|dx|+|dy|\le 2\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$，因此当 $dx$ 和 $dy$ 选得足够小时，用 $f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$ 近似全微分的误差满足

换言之，

这正是我们说“误差与 $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ 相比是小的”时所要表达的意思。于是我们的结果如下：

其误差与 $\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ 相比是小的。这就是正确解释该公式的意义所在。

上式中出现的表达式 $f_{x}dx+f_{y}dy$ 可以用向量记号表示为标量积

在二维情形下没有多少理由这样做。然而，我们可以定义 $n$ 元函数 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的全微分为量

这是一个 $2n$ 元函数，并且可以像上面那样证明

其中误差与

相比是小的。我们把向量 $(d{x}_1,d{x}_2,\dots ,d{x}_n)$ 记作 $dX$，把向量 $(f_{x_1},f_{x_2},\dots ,f_{x_n})$ 记作 grad f（称为“$𝒇$ 的梯度”）。在这种记号下，我们有

其中误差与 $|dX|$ 相比是小的。

现在换一种情形，设 $f(x,y,z)$ 是一个三元函数，并设这三个变量都是单个变量 $t$ 的函数 $x(t),y(t),z(t)$。那么 $g(t)=f(x(t),y(t),z(t))$ 是 $t$ 的函数，我们可以研究 。为此，我们必须考虑

现在令 $dx=x(t+h)-x(t),dy=y(t+h)-y(t),dz=z(t+h)-z(t)$；那么我们有

现在

因此

误差项具有 $\alpha dx+\beta dy+\gamma dz$ 的形式，其中 $\alpha ,\beta$ 和 $\gamma$ 当 $|dX|$ 趋于零时趋于零。当 $h\to 0$ 时，$|dX|\to 0$，因为假设了 $x(t),y(t),z(t)$ 连续。于是

如垂直箭头所示。

代入 $g(t)$，我们得到公式

这是多元函数链式法则的三元情形。（在 $f(x(t))$ 的情形下，它就简化为 ，正如我们之前所看到的。）

习题