偏导数

现在设 $f (x, y)$ 为一个二元函数。我们考虑求 $f (x, y)$ 的导数的问题。目前，我们将考虑两类导数：如果 $(x_{0}, y_{0})$ 是一个点，我们把函数 $g (x) = f (x, y_{0})$ 在 $x_{0}$ 处的导数称为 $f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处关于 $x$ 的偏导数，并记作

f_{x} (x_{0}, y_{0}), 或 \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) \cdot

同样地， $f (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处关于 $y$ 的偏导数，记作

f_{y} (x_{0}, y_{0}), 或 \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

是函数 $h (y) = f (x_{0}, y)$ 在 $y = y_{0}$ 处的导数。于是我们有

f_{x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h},

f_{y} (x_{0}, y_{0}) = lim_{k \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0})}{k} \cdot

那么 $f_{x x}, f_{x y}, f_{y x}, f_{y y}$ 的含义应该是显而易见的；例如， $f_{x y} (x_{0}, y_{0}) = (f_{x})_{y} (x_{0}, y_{0})$ ，换句话说，就是 $f (x, y)$ 关于 $x$ 的偏导数再关于 $y$ 的偏导数。为求出它，我们必须使用

这样，我们的分子就是下图中矩形的四个角上函数值的组合，并带有相应的符号：

同样地，

f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{h \to 0} lim_{k \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0} + k) + f (x_{0}, y_{0})}{h k} \cdot

取极限时所涉及的两项相等这一事实并不意味着极限相等；因为在这两种情况下我们取的并不是同一个极限。例如，考虑

lim_{h \to 0} lim_{k \to 0} \frac{h^{2} - k^{2}}{h^{2} + k^{2}} = lim_{h \to 0} \frac{h^{2}}{h^{2}} = lim_{h \to 0} 1 = 1 \cdot

另一方面，

lim_{k \to 0} lim_{h \to 0} \frac{h^{2} - k^{2}}{h^{2} + k^{2}} = lim_{k \to 0} \frac{- k^{2}}{k^{2}} = lim_{k \to 0} - 1 = - 1 \cdot

由 $f_{x}$ 的存在性，我们确实知道，当把 $f (x, y)$ 看作关于 $x$ 的函数（固定 $y$ ）时，可以对其应用中值定理。于是我们有

f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0} + k) = h f_{x} (ξ, y_{0} + k),

其中 $ξ$ 介于 $x_{0}$ 和 $x_{0} + h$ 之间，并且

其中介于 $x_{0}$ 和 $x_{0} + h$ 之间。假设暂时有；那么在那些极限为混合二阶偏导数的表达式中，分子为

h (f_{x} (ξ, y_{0} + k) - f_{x} (ξ, y_{0})) = h k f_{x y} (ξ, η)

其中某个 $η$ 介于 $y_{0}$ 和 $y_{0} + k$ 之间。于是我们就会得到，例如，

f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{h \to 0} lim_{k \to 0} f_{x y} (ξ, η),

其中 $(ξ, η)$ 位于我们的矩形内。那么如果我们知道

lim_{h \to 0} lim_{k \to 0} f_{x y} (ξ, η) = f_{x y} (x_{0}, y_{0}),

我们就会得到结果

f_{x y} (x_{0}, y_{0}) = f_{y x} (x_{0}, y_{0}) \cdot

然而，这并不总是成立。作为一个练习，请证明对于函数

我们有 $f_{x y} (0, 0) = + 4, f_{y x} (0, 0) = - 4$ 。但在这个例子中， $f_{x y}$ 和 $f_{y x}$ 都在 $(0, 0)$ 处不连续。如果 $f_{x y}$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处连续，那么我们确实有

lim_{h \to 0} lim_{k \to 0} f_{x y} (ξ, η) = f_{x y} (x_{0}, y_{0}),

并且如果我们能确定，我们就已经证明了 $f_{x y} (x_{0}, y_{0}) = f_{y x} (x_{0}, y_{0})$ 。但我们可以做到这一点：

令

g (x) = f (x, y_{0} + k) - f (x, y_{0}) \cdot

那么

g (x_{0} + h) - g (x_{0}) = f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0} + k) + f (x_{0}, y_{0})

恰好是我们所考虑的表达式的分子。由于 $g (x)$ 是可微的，且，我们有

其中 $ξ$ 介于 $x_{0}$ 和 $x_{0} + h$ 之间。于是

现在它等于 $h k f_{x y} (ξ, η)$ ，其中某个 $η$ 介于 $y_{0}$ 和 $y_{0} + k$ 之间，于是我们可以像在假设时那样完成证明。我们所证明的是以下结果：

定理 1

设 $f_{x y} (x_{0}, y_{0})$ 和 $f_{y x} (x_{0}, y_{0})$ 存在，并且 $f_{x y}$ 或 $f_{y x}$ 之一在 $(x_{0}, y_{0})$ 处连续。那么

f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = f_{x y} (x_{0}, y_{0}) .

在几乎所有实际应用中，我们都有 $f_{y x} = f_{x y}$ ，所以你会在大多数书中看到这个性质被随意使用。

习题

习题 1.

Courant，第 472 页，第 1、2 题。