中值定理的应用

如果每当 ，就有 ，我们称函数 $f(x)$ 是严格递增的。如果 蕴含 ，则称 $f(x)$ 是严格递减的。如果 蕴含 $f(a)\le f(b)$，则称 $f(x)$ 是单调递增的；如果 蕴含 $f(a)\ge f(b)$，则称 $f(x)$ 是单调递减的。

现在假设 $f(x)$ 在 $a\le x\le b$ 上连续，并且 对所有满足 的 $x$ 都存在且为正。设 $c$ 和 $d$ 满足 。那么 $f(x)$ 显然在区间 $c\le x\le d$ 上满足中值定理的条件。因此

但此时 ，且 。因此 ，即 。这正是 $f(x)$ 在 $a\le x\le b$ 上严格递增的条件。

用类似的方法可以证明：
a) 如果对于 有 ，则 $f(x)$ 严格递减。
b) 如果对于 有 ，则 $f(x)$ 单调递增。
c) 如果对于 有 ，则 $f(x)$ 单调递减。

这些留作练习。但请注意，有些函数例如是单调递减的，却不连续，因此在一个区间上甚至没有导数。举例来说，设

我们已经知道常数的导数为零。现在我们可以证明逆命题，即在 $a\le x\le b$ 上连续、且其导数对所有 都满足 的函数 $f(x)$ 是常数。因为如果 ，由中值定理，存在某个 ，使得 。但 ，所以 $f(d)=f(a)$。由于 $d$ 可以是区间内的任意数，我们有 $f(x)=f(a)$ 对所有 $x,a\le x\le b$ 成立，因此 $f(x)$ 是常数。

作为这一结论的推论，设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a\le x\le b$ 上连续，并且对所有 都有 。那么 $f(x)-g(x)$ 连续且导数为 0，因此是一个常数 $c$。于是 $f(x)=g(x)+c$。我们证明了在一个区间内导数相等的两个函数相差一个常数函数。（注意，正是求导运算的线性使得这成为前一结论的简单推论。）

接下来考虑函数 $f(x)=x-\sin x$。它在任何区间上都连续可微；其导数为 $1-\cos x\ge 0$。因此它是单调递增的。但 $f(0)=0$，所以如果 $x\ge 0$，则 $f(x)\ge f(0)=0$，即若 $x\ge 0$，则 $x-\sin x\ge 0$。同样，函数 $-1+\frac{1}{2}{x}^2+\cos x$ 在 $x=0$ 时值为 0；由上述结论，其导数对 $x\ge 0$ 满足 $x-\sin x\ge 0$。因此它也是单调递增函数，于是当 $x\ge 0$ 时 $-1+\frac{1}{2}{x}^2+\cos x\ge 0$。现在

对 $x\ge 0$ 成立，理由类似；继续下去，我们有

对所有 $x\ge 0$ 成立，其中 $n!$（$𝒏$ 的阶乘）是乘积 $1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n$。（注意 $2!=2,1!=1$。我们约定 $0!=1$。）这些不等式可以移项，得到以下对所有 $x\ge 0$ 成立的不等式：

这样我们就得到了用于逼近 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的多项式，至少对 $x\ge 0$ 是如此（该方法也可以应用于 $x\le 0$ 的情形）。使用其中一个多项式作近似时，误差至多是它与序列中下一个多项式之间的差；例如，如果我们用 $1-\frac{1}{3!}=.833\dots$ 来估计 $\sin 1$，我们的误差至多为 $\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$。

习题